Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1964 / 1212
↖ ↑ ↗
← N 58.995311°
W  7.382813°		 ← 5 034.15 m → N 58.995311°
W  7.294922°		 →
↑
5 037.42 m
↓
↑
5 037.42 m
↓
N 58.950008°
W  7.382813°		 ← 5 040.77 m →
25 375 797 m²		 N 58.950008°
W  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4796142578125 y=0.2960205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4796142578125 × 212)
    floor (0.4796142578125 × 4096)
    floor (1964.5)     		tx = 1964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2960205078125 × 212)
    floor (0.2960205078125 × 4096)
    floor (1212.5)     		ty = 1212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1964 / 1212 ti = "12/1964/1212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1964/1212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1964 ÷ 212
    1964 ÷ 4096     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1212 ÷ 212
    1212 ÷ 4096     		y = 0.2958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2958984375 × 2 - 1) × π
    0.408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28240793863574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28240793863574))-π/2
    2×atan(3.60531064865906)-π/2
    2×1.3002293751222-π/2
    2.60045875024441-1.57079632675     		φ = 1.02966242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02966242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.995311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1964 KachelY 1212 -0.12885439 1.02966242 -7.382813 58.995311
    Oben rechts KachelX + 1 1965 KachelY 1212 -0.12732041 1.02966242 -7.294922 58.995311
    Unten links KachelX 1964 KachelY + 1 1213 -0.12885439 1.02887174 -7.382813 58.950008
    Unten rechts KachelX + 1 1965 KachelY + 1 1213 -0.12732041 1.02887174 -7.294922 58.950008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02966242-1.02887174) × R
    0.000790679999999933 × 6371000     		dl = 5037.42227999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02966242-1.02887174) × R
    0.000790679999999933 × 6371000     		dr = 5037.42227999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12732041) × cos(1.02966242) × R
    0.00153398000000002 × 0.515108222622785 × 6371000     		do = 5034.14574694019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12732041) × cos(1.02887174) × R
    0.00153398000000002 × 0.515785773247683 × 6371000     		du = 5040.76744010459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02966242)-sin(1.02887174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515108222622785-0.515785773247683)×R²
    abs(-0.12732041--0.12885439)×0.000677550624897827×R²
    0.00153398000000002×0.000677550624897827×6371000²
    0.00153398000000002×0.000677550624897827×40589641000000     		ar = 25375797.4007705m²