Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19639 / 20986
↖ ↑ ↗
← S 45.042478°
E 35.760498°		 ← 863.19 m → S 45.042478°
E 35.771484°		 →
↑
863.08 m
↓
↑
863.08 m
↓
S 45.050240°
E 35.760498°		 ← 863.07 m →
744 950 m²		 S 45.050240°
E 35.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599349975585938 y=0.640457153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599349975585938 × 215)
    floor (0.599349975585938 × 32768)
    floor (19639.5)     		tx = 19639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640457153320312 × 215)
    floor (0.640457153320312 × 32768)
    floor (20986.5)     		ty = 20986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19639 / 20986 ti = "15/19639/20986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19639/20986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19639 ÷ 215
    19639 ÷ 32768     		x = 0.599334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20986 ÷ 215
    20986 ÷ 32768     		y = 0.64044189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599334716796875 × 2 - 1) × π
    0.19866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62413843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64044189453125 × 2 - 1) × π
    -0.2808837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.882422448205994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62413843} λ = 0.62413843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882422448205994))-π/2
    2×atan(0.413779337605181)-π/2
    2×0.392328390783691-π/2
    0.784656781567382-1.57079632675     		φ = -0.78613955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62413843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.760498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78613955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.042478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19639 KachelY 20986 0.62413843 -0.78613955 35.760498 -45.042478
    Oben rechts KachelX + 1 19640 KachelY 20986 0.62433018 -0.78613955 35.771484 -45.042478
    Unten links KachelX 19639 KachelY + 1 20987 0.62413843 -0.78627502 35.760498 -45.050240
    Unten rechts KachelX + 1 19640 KachelY + 1 20987 0.62433018 -0.78627502 35.771484 -45.050240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78613955--0.78627502) × R
    0.000135470000000026 × 6371000     		dl = 863.079370000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78613955--0.78627502) × R
    0.000135470000000026 × 6371000     		dr = 863.079370000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62413843-0.62433018) × cos(-0.78613955) × R
    0.000191749999999935 × 0.706582347408368 × 6371000     		do = 863.188728950905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62413843-0.62433018) × cos(-0.78627502) × R
    0.000191749999999935 × 0.70648647817698 × 6371000     		du = 863.071611334974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78613955)-sin(-0.78627502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706582347408368-0.70648647817698)×R²
    abs(0.62433018-0.62413843)×9.5869231388046e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5869231388046e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5869231388046e-05×40589641000000     		ar = 744949.844613822m²