Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19632 / 14960
↖ ↑ ↗
← N 15.453680°
E 35.683594°		 ← 1 177.47 m → N 15.453680°
E 35.694580°		 →
↑
1 177.49 m
↓
↑
1 177.49 m
↓
N 15.443091°
E 35.683594°		 ← 1 177.53 m →
1 386 495 m²		 N 15.443091°
E 35.694580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599136352539062 y=0.456558227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599136352539062 × 215)
    floor (0.599136352539062 × 32768)
    floor (19632.5)     		tx = 19632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456558227539062 × 215)
    floor (0.456558227539062 × 32768)
    floor (14960.5)     		ty = 14960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19632 / 14960 ti = "15/19632/14960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19632/14960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19632 ÷ 215
    19632 ÷ 32768     		x = 0.59912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14960 ÷ 215
    14960 ÷ 32768     		y = 0.45654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59912109375 × 2 - 1) × π
    0.1982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62279620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.27304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62279620} λ = 0.62279620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27304858023584))-π/2
    2×atan(1.31396407595896)-π/2
    2×0.920256964126273-π/2
    1.84051392825255-1.57079632675     		φ = 0.26971760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62279620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.683594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26971760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.453680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19632 KachelY 14960 0.62279620 0.26971760 35.683594 15.453680
    Oben rechts KachelX + 1 19633 KachelY 14960 0.62298795 0.26971760 35.694580 15.453680
    Unten links KachelX 19632 KachelY + 1 14961 0.62279620 0.26953278 35.683594 15.443091
    Unten rechts KachelX + 1 19633 KachelY + 1 14961 0.62298795 0.26953278 35.694580 15.443091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26971760-0.26953278) × R
    0.000184819999999974 × 6371000     		dl = 1177.48821999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26971760-0.26953278) × R
    0.000184819999999974 × 6371000     		dr = 1177.48821999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62279620-0.62298795) × cos(0.26971760) × R
    0.000191749999999935 × 0.963846182892362 × 6371000     		do = 1177.47232798359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62279620-0.62298795) × cos(0.26953278) × R
    0.000191749999999935 × 0.963895413430251 × 6371000     		du = 1177.53246994097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26971760)-sin(0.26953278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963846182892362-0.963895413430251)×R²
    abs(0.62298795-0.62279620)×4.9230537889744e-05×R²
    0.000191749999999935×4.9230537889744e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.9230537889744e-05×40589641000000     		ar = 1386495.20774634m²