Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1963 / 987
↖ ↑ ↗
← N 67.776026°
W  7.470703°		 ← 3 696.42 m → N 67.776026°
W  7.382813°		 →
↑
3 699.07 m
↓
↑
3 699.07 m
↓
N 67.742759°
W  7.470703°		 ← 3 701.67 m →
13 683 013 m²		 N 67.742759°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4793701171875 y=0.2410888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4793701171875 × 212)
    floor (0.4793701171875 × 4096)
    floor (1963.5)     		tx = 1963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2410888671875 × 212)
    floor (0.2410888671875 × 4096)
    floor (987.5)     		ty = 987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1963 / 987 ti = "12/1963/987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1963/987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1963 ÷ 212
    1963 ÷ 4096     		x = 0.479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 987 ÷ 212
    987 ÷ 4096     		y = 0.240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240966796875 × 2 - 1) × π
    0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13038837} λ = -0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62755361590015))-π/2
    2×atan(5.09140394095324)-π/2
    2×1.37685556186595-π/2
    2.7537111237319-1.57079632675     		φ = 1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1963 KachelY 987 -0.13038837 1.18291480 -7.470703 67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 1964 KachelY 987 -0.12885439 1.18291480 -7.382813 67.776026
    Unten links KachelX 1963 KachelY + 1 988 -0.13038837 1.18233419 -7.470703 67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 1964 KachelY + 1 988 -0.12885439 1.18233419 -7.382813 67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18291480-1.18233419) × R
    0.000580610000000092 × 6371000     		dl = 3699.06631000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18291480-1.18233419) × R
    0.000580610000000092 × 6371000     		dr = 3699.06631000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13038837--0.12885439) × cos(1.18291480) × R
    0.00153397999999999 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 3696.41881394496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13038837--0.12885439) × cos(1.18233419) × R
    0.00153397999999999 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 3701.67095469411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18291480)-sin(1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.378765582495472)×R²
    abs(-0.12885439--0.13038837)×0.000537414096106692×R²
    0.00153397999999999×0.000537414096106692×6371000²
    0.00153397999999999×0.000537414096106692×40589641000000     		ar = 13683012.6951533m²