Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1963 / 1211
↖ ↑ ↗
← N 59.040555°
W  7.470703°		 ← 5 027.53 m → N 59.040555°
W  7.382813°		 →
↑
5 030.86 m
↓
↑
5 030.86 m
↓
N 58.995311°
W  7.470703°		 ← 5 034.15 m →
25 309 442 m²		 N 58.995311°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4793701171875 y=0.2957763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4793701171875 × 212)
    floor (0.4793701171875 × 4096)
    floor (1963.5)     		tx = 1963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2957763671875 × 212)
    floor (0.2957763671875 × 4096)
    floor (1211.5)     		ty = 1211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1963 / 1211 ti = "12/1963/1211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1963/1211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1963 ÷ 212
    1963 ÷ 4096     		x = 0.479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1211 ÷ 212
    1211 ÷ 4096     		y = 0.295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295654296875 × 2 - 1) × π
    0.40869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28394191942358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13038837} λ = -0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28394191942358))-π/2
    2×atan(3.61084536992103)-π/2
    2×1.300624198521-π/2
    2.60124839704199-1.57079632675     		φ = 1.03045207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03045207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.040555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1963 KachelY 1211 -0.13038837 1.03045207 -7.470703 59.040555
    Oben rechts KachelX + 1 1964 KachelY 1211 -0.12885439 1.03045207 -7.382813 59.040555
    Unten links KachelX 1963 KachelY + 1 1212 -0.13038837 1.02966242 -7.470703 58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 1964 KachelY + 1 1212 -0.12885439 1.02966242 -7.382813 58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03045207-1.02966242) × R
    0.000789649999999975 × 6371000     		dl = 5030.86014999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03045207-1.02966242) × R
    0.000789649999999975 × 6371000     		dr = 5030.86014999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13038837--0.12885439) × cos(1.03045207) × R
    0.00153397999999999 × 0.51443123322305 × 6371000     		do = 5027.52953862168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13038837--0.12885439) × cos(1.02966242) × R
    0.00153397999999999 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 5034.1457469401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03045207)-sin(1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51443123322305-0.515108222622785)×R²
    abs(-0.12885439--0.13038837)×0.000676989399735595×R²
    0.00153397999999999×0.000676989399735595×6371000²
    0.00153397999999999×0.000676989399735595×40589641000000     		ar = 25309441.9333203m²