Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19624 / 15021
↖ ↑ ↗
← N 14.806749°
E 35.595703°		 ← 1 181.07 m → N 14.806749°
E 35.606690°		 →
↑
1 181.12 m
↓
↑
1 181.12 m
↓
N 14.796127°
E 35.595703°		 ← 1 181.13 m →
1 395 022 m²		 N 14.796127°
E 35.606690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598892211914062 y=0.458419799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598892211914062 × 215)
    floor (0.598892211914062 × 32768)
    floor (19624.5)     		tx = 19624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458419799804688 × 215)
    floor (0.458419799804688 × 32768)
    floor (15021.5)     		ty = 15021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19624 / 15021 ti = "15/19624/15021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19624/15021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19624 ÷ 215
    19624 ÷ 32768     		x = 0.598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15021 ÷ 215
    15021 ÷ 32768     		y = 0.458404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598876953125 × 2 - 1) × π
    0.19775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62126222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458404541015625 × 2 - 1) × π
    0.08319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.261351976728546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62126222} λ = 0.62126222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261351976728546))-π/2
    2×atan(1.29868469178688)-π/2
    2×0.914611427424506-π/2
    1.82922285484901-1.57079632675     		φ = 0.25842653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62126222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.595703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25842653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.806749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19624 KachelY 15021 0.62126222 0.25842653 35.595703 14.806749
    Oben rechts KachelX + 1 19625 KachelY 15021 0.62145397 0.25842653 35.606690 14.806749
    Unten links KachelX 19624 KachelY + 1 15022 0.62126222 0.25824114 35.595703 14.796127
    Unten rechts KachelX + 1 19625 KachelY + 1 15022 0.62145397 0.25824114 35.606690 14.796127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25842653-0.25824114) × R
    0.000185390000000007 × 6371000     		dl = 1181.11969000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25842653-0.25824114) × R
    0.000185390000000007 × 6371000     		dr = 1181.11969000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62126222-0.62145397) × cos(0.25842653) × R
    0.000191750000000046 × 0.966793290205889 × 6371000     		do = 1181.07262995244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62126222-0.62145397) × cos(0.25824114) × R
    0.000191750000000046 × 0.966840651794801 × 6371000     		du = 1181.1304887284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25842653)-sin(0.25824114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966793290205889-0.966840651794801)×R²
    abs(0.62145397-0.62126222)×4.73615889120538e-05×R²
    0.000191750000000046×4.73615889120538e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.73615889120538e-05×40589641000000     		ar = 1395022.31162238m²