Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19623 / 15015
↖ ↑ ↗
← N 14.870469°
E 35.584717°		 ← 1 180.72 m → N 14.870469°
E 35.595703°		 →
↑
1 180.74 m
↓
↑
1 180.74 m
↓
N 14.859851°
E 35.584717°		 ← 1 180.78 m →
1 394 160 m²		 N 14.859851°
E 35.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598861694335938 y=0.458236694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598861694335938 × 215)
    floor (0.598861694335938 × 32768)
    floor (19623.5)     		tx = 19623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458236694335938 × 215)
    floor (0.458236694335938 × 32768)
    floor (15015.5)     		ty = 15015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19623 / 15015 ti = "15/19623/15015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19623/15015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19623 ÷ 215
    19623 ÷ 32768     		x = 0.598846435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15015 ÷ 215
    15015 ÷ 32768     		y = 0.458221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598846435546875 × 2 - 1) × π
    0.19769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62107047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458221435546875 × 2 - 1) × π
    0.08355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262502462319427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62107047} λ = 0.62107047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262502462319427))-π/2
    2×atan(1.30017966962221)-π/2
    2×0.915167486435416-π/2
    1.83033497287083-1.57079632675     		φ = 0.25953865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62107047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.584717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25953865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.870469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19623 KachelY 15015 0.62107047 0.25953865 35.584717 14.870469
    Oben rechts KachelX + 1 19624 KachelY 15015 0.62126222 0.25953865 35.595703 14.870469
    Unten links KachelX 19623 KachelY + 1 15016 0.62107047 0.25935332 35.584717 14.859851
    Unten rechts KachelX + 1 19624 KachelY + 1 15016 0.62126222 0.25935332 35.595703 14.859851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25953865-0.25935332) × R
    0.000185329999999984 × 6371000     		dl = 1180.7374299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25953865-0.25935332) × R
    0.000185329999999984 × 6371000     		dr = 1180.7374299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62107047-0.62126222) × cos(0.25953865) × R
    0.000191749999999935 × 0.966508479397855 × 6371000     		do = 1180.72469388984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62107047-0.62126222) × cos(0.25935332) × R
    0.000191749999999935 × 0.966556024904491 × 6371000     		du = 1180.7827773469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25953865)-sin(0.25935332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966508479397855-0.966556024904491)×R²
    abs(0.62126222-0.62107047)×4.75455066365482e-05×R²
    0.000191749999999935×4.75455066365482e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.75455066365482e-05×40589641000000     		ar = 1394160.13524752m²