Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19622 / 21153
↖ ↑ ↗
← S 46.324172°
E 35.573730°		 ← 843.64 m → S 46.324172°
E 35.584717°		 →
↑
843.58 m
↓
↑
843.58 m
↓
S 46.331758°
E 35.573730°		 ← 843.52 m →
711 629 m²		 S 46.331758°
E 35.584717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598831176757812 y=0.645553588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598831176757812 × 215)
    floor (0.598831176757812 × 32768)
    floor (19622.5)     		tx = 19622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645553588867188 × 215)
    floor (0.645553588867188 × 32768)
    floor (21153.5)     		ty = 21153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19622 / 21153 ti = "15/19622/21153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19622/21153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19622 ÷ 215
    19622 ÷ 32768     		x = 0.59881591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21153 ÷ 215
    21153 ÷ 32768     		y = 0.645538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59881591796875 × 2 - 1) × π
    0.1976318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62087872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.29107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914444297152191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62087872} λ = 0.62087872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914444297152191))-π/2
    2×atan(0.400739256172888)-π/2
    2×0.381143504416453-π/2
    0.762287008832906-1.57079632675     		φ = -0.80850932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62087872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.573730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80850932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.324172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19622 KachelY 21153 0.62087872 -0.80850932 35.573730 -46.324172
    Oben rechts KachelX + 1 19623 KachelY 21153 0.62107047 -0.80850932 35.584717 -46.324172
    Unten links KachelX 19622 KachelY + 1 21154 0.62087872 -0.80864173 35.573730 -46.331758
    Unten rechts KachelX + 1 19623 KachelY + 1 21154 0.62107047 -0.80864173 35.584717 -46.331758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80850932--0.80864173) × R
    0.000132409999999972 × 6371000     		dl = 843.58410999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80850932--0.80864173) × R
    0.000132409999999972 × 6371000     		dr = 843.58410999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62087872-0.62107047) × cos(-0.80850932) × R
    0.000191750000000046 × 0.69057734688062 × 6371000     		do = 843.636392110433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62087872-0.62107047) × cos(-0.80864173) × R
    0.000191750000000046 × 0.690481574162751 × 6371000     		du = 843.519392399205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80850932)-sin(-0.80864173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69057734688062-0.690481574162751)×R²
    abs(0.62107047-0.62087872)×9.57727178686474e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57727178686474e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57727178686474e-05×40589641000000     		ar = 711628.906492907m²