Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19622 / 15022
↖ ↑ ↗
← N 14.796127°
E 35.573730°		 ← 1 181.13 m → N 14.796127°
E 35.584717°		 →
↑
1 181.12 m
↓
↑
1 181.12 m
↓
N 14.785505°
E 35.573730°		 ← 1 181.19 m →
1 395 091 m²		 N 14.785505°
E 35.584717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598831176757812 y=0.458450317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598831176757812 × 215)
    floor (0.598831176757812 × 32768)
    floor (19622.5)     		tx = 19622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458450317382812 × 215)
    floor (0.458450317382812 × 32768)
    floor (15022.5)     		ty = 15022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19622 / 15022 ti = "15/19622/15022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19622/15022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19622 ÷ 215
    19622 ÷ 32768     		x = 0.59881591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15022 ÷ 215
    15022 ÷ 32768     		y = 0.45843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59881591796875 × 2 - 1) × π
    0.1976318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62087872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45843505859375 × 2 - 1) × π
    0.0831298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.261160229130066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62087872} λ = 0.62087872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261160229130066))-π/2
    2×atan(1.29843569598898)-π/2
    2×0.914518735008095-π/2
    1.82903747001619-1.57079632675     		φ = 0.25824114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62087872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.573730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25824114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.796127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19622 KachelY 15022 0.62087872 0.25824114 35.573730 14.796127
    Oben rechts KachelX + 1 19623 KachelY 15022 0.62107047 0.25824114 35.584717 14.796127
    Unten links KachelX 19622 KachelY + 1 15023 0.62087872 0.25805575 35.573730 14.785505
    Unten rechts KachelX + 1 19623 KachelY + 1 15023 0.62107047 0.25805575 35.584717 14.785505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25824114-0.25805575) × R
    0.000185390000000007 × 6371000     		dl = 1181.11969000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25824114-0.25805575) × R
    0.000185390000000007 × 6371000     		dr = 1181.11969000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62087872-0.62107047) × cos(0.25824114) × R
    0.000191750000000046 × 0.966840651794801 × 6371000     		do = 1181.1304887284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62087872-0.62107047) × cos(0.25805575) × R
    0.000191750000000046 × 0.96688798015393 × 6371000     		du = 1181.18830690955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25824114)-sin(0.25805575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966840651794801-0.96688798015393)×R²
    abs(0.62107047-0.62087872)×4.73283591287954e-05×R²
    0.000191750000000046×4.73283591287954e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.73283591287954e-05×40589641000000     		ar = 1395090.62578823m²