Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19622 / 15014
↖ ↑ ↗
← N 14.881087°
E 35.573730°		 ← 1 180.67 m → N 14.881087°
E 35.584717°		 →
↑
1 180.67 m
↓
↑
1 180.67 m
↓
N 14.870469°
E 35.573730°		 ← 1 180.72 m →
1 394 016 m²		 N 14.870469°
E 35.584717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598831176757812 y=0.458206176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598831176757812 × 215)
    floor (0.598831176757812 × 32768)
    floor (19622.5)     		tx = 19622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458206176757812 × 215)
    floor (0.458206176757812 × 32768)
    floor (15014.5)     		ty = 15014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19622 / 15014 ti = "15/19622/15014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19622/15014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19622 ÷ 215
    19622 ÷ 32768     		x = 0.59881591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15014 ÷ 215
    15014 ÷ 32768     		y = 0.45819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59881591796875 × 2 - 1) × π
    0.1976318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62087872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45819091796875 × 2 - 1) × π
    0.0836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262694209917908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62087872} λ = 0.62087872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262694209917908))-π/2
    2×atan(1.30042899985492)-π/2
    2×0.915260146995011-π/2
    1.83052029399002-1.57079632675     		φ = 0.25972397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62087872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.573730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25972397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.881087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19622 KachelY 15014 0.62087872 0.25972397 35.573730 14.881087
    Oben rechts KachelX + 1 19623 KachelY 15014 0.62107047 0.25972397 35.584717 14.881087
    Unten links KachelX 19622 KachelY + 1 15015 0.62087872 0.25953865 35.573730 14.870469
    Unten rechts KachelX + 1 19623 KachelY + 1 15015 0.62107047 0.25953865 35.584717 14.870469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25972397-0.25953865) × R
    0.000185320000000044 × 6371000     		dl = 1180.67372000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25972397-0.25953865) × R
    0.000185320000000044 × 6371000     		dr = 1180.67372000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62087872-0.62107047) × cos(0.25972397) × R
    0.000191750000000046 × 0.966460903262487 × 6371000     		do = 1180.66657301619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62087872-0.62107047) × cos(0.25953865) × R
    0.000191750000000046 × 0.966508479397855 × 6371000     		du = 1180.72469389052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25972397)-sin(0.25953865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966460903262487-0.966508479397855)×R²
    abs(0.62107047-0.62087872)×4.75761353672111e-05×R²
    0.000191750000000046×4.75761353672111e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.75761353672111e-05×40589641000000     		ar = 1394016.30972683m²