Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19620 / 15013
↖ ↑ ↗
← N 14.891705°
E 35.551758°		 ← 1 180.61 m → N 14.891705°
E 35.562744°		 →
↑
1 180.61 m
↓
↑
1 180.61 m
↓
N 14.881087°
E 35.551758°		 ← 1 180.67 m →
1 393 872 m²		 N 14.881087°
E 35.562744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598770141601562 y=0.458175659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598770141601562 × 215)
    floor (0.598770141601562 × 32768)
    floor (19620.5)     		tx = 19620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458175659179688 × 215)
    floor (0.458175659179688 × 32768)
    floor (15013.5)     		ty = 15013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19620 / 15013 ti = "15/19620/15013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19620/15013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19620 ÷ 215
    19620 ÷ 32768     		x = 0.5987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15013 ÷ 215
    15013 ÷ 32768     		y = 0.458160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5987548828125 × 2 - 1) × π
    0.197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62049523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458160400390625 × 2 - 1) × π
    0.08367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.262885957516388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62049523} λ = 0.62049523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262885957516388))-π/2
    2×atan(1.3006783779007)-π/2
    2×0.915352802991794-π/2
    1.83070560598359-1.57079632675     		φ = 0.25990928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62049523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.551758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25990928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.891705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19620 KachelY 15013 0.62049523 0.25990928 35.551758 14.891705
    Oben rechts KachelX + 1 19621 KachelY 15013 0.62068698 0.25990928 35.562744 14.891705
    Unten links KachelX 19620 KachelY + 1 15014 0.62049523 0.25972397 35.551758 14.881087
    Unten rechts KachelX + 1 19621 KachelY + 1 15014 0.62068698 0.25972397 35.562744 14.881087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25990928-0.25972397) × R
    0.000185309999999994 × 6371000     		dl = 1180.61000999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25990928-0.25972397) × R
    0.000185309999999994 × 6371000     		dr = 1180.61000999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62049523-0.62068698) × cos(0.25990928) × R
    0.000191750000000046 × 0.966413296505397 × 6371000     		do = 1180.60841473316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62049523-0.62068698) × cos(0.25972397) × R
    0.000191750000000046 × 0.966460903262487 × 6371000     		du = 1180.66657301619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25990928)-sin(0.25972397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966413296505397-0.966460903262487)×R²
    abs(0.62068698-0.62049523)×4.76067570905903e-05×R²
    0.000191750000000046×4.76067570905903e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.76067570905903e-05×40589641000000     		ar = 1393872.44743857m²