Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1962 / 2404
↖ ↑ ↗
← S 29.840644°
W  7.558594°		 ← 8 477.21 m → S 29.840644°
W  7.470703°		 →
↑
8 473.94 m
↓
↑
8 473.94 m
↓
S 29.916852°
W  7.558594°		 ← 8 470.74 m →
71 807 962 m²		 S 29.916852°
W  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4791259765625 y=0.5870361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4791259765625 × 212)
    floor (0.4791259765625 × 4096)
    floor (1962.5)     		tx = 1962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5870361328125 × 212)
    floor (0.5870361328125 × 4096)
    floor (2404.5)     		ty = 2404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1962 / 2404 ti = "12/1962/2404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1962/2404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1962 ÷ 212
    1962 ÷ 4096     		x = 0.47900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2404 ÷ 212
    2404 ÷ 4096     		y = 0.5869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5869140625 × 2 - 1) × π
    -0.173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54609716047168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13192235} λ = -0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54609716047168))-π/2
    2×atan(0.57920595272323)-π/2
    2×0.524989419920582-π/2
    1.04997883984116-1.57079632675     		φ = -0.52081749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52081749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.840644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1962 KachelY 2404 -0.13192235 -0.52081749 -7.558594 -29.840644
    Oben rechts KachelX + 1 1963 KachelY 2404 -0.13038837 -0.52081749 -7.470703 -29.840644
    Unten links KachelX 1962 KachelY + 1 2405 -0.13192235 -0.52214757 -7.558594 -29.916852
    Unten rechts KachelX + 1 1963 KachelY + 1 2405 -0.13038837 -0.52214757 -7.470703 -29.916852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52081749--0.52214757) × R
    0.00133008000000001 × 6371000     		dl = 8473.93968000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52081749--0.52214757) × R
    0.00133008000000001 × 6371000     		dr = 8473.93968000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13192235--0.13038837) × cos(-0.52081749) × R
    0.00153397999999999 × 0.867412695201626 × 6371000     		do = 8477.21262952707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13192235--0.13038837) × cos(-0.52214757) × R
    0.00153397999999999 × 0.866750094405313 × 6371000     		du = 8470.7370408368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52081749)-sin(-0.52214757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867412695201626-0.866750094405313)×R²
    abs(-0.13038837--0.13192235)×0.00066260079631375×R²
    0.00153397999999999×0.00066260079631375×6371000²
    0.00153397999999999×0.00066260079631375×40589641000000     		ar = 71807962.189535m²