Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19618 / 21156
↖ ↑ ↗
← S 46.346927°
E 35.529785°		 ← 843.29 m → S 46.346927°
E 35.540771°		 →
↑
843.27 m
↓
↑
843.27 m
↓
S 46.354511°
E 35.529785°		 ← 843.17 m →
711 064 m²		 S 46.354511°
E 35.540771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598709106445312 y=0.645645141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598709106445312 × 215)
    floor (0.598709106445312 × 32768)
    floor (19618.5)     		tx = 19618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645645141601562 × 215)
    floor (0.645645141601562 × 32768)
    floor (21156.5)     		ty = 21156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19618 / 21156 ti = "15/19618/21156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19618/21156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19618 ÷ 215
    19618 ÷ 32768     		x = 0.59869384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21156 ÷ 215
    21156 ÷ 32768     		y = 0.6456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59869384765625 × 2 - 1) × π
    0.1973876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62011173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.915019539947632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62011173} λ = 0.62011173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915019539947632))-π/2
    2×atan(0.400508800093379)-π/2
    2×0.380944920912633-π/2
    0.761889841825266-1.57079632675     		φ = -0.80890648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62011173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80890648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.346927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19618 KachelY 21156 0.62011173 -0.80890648 35.529785 -46.346927
    Oben rechts KachelX + 1 19619 KachelY 21156 0.62030348 -0.80890648 35.540771 -46.346927
    Unten links KachelX 19618 KachelY + 1 21157 0.62011173 -0.80903884 35.529785 -46.354511
    Unten rechts KachelX + 1 19619 KachelY + 1 21157 0.62030348 -0.80903884 35.540771 -46.354511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80890648--0.80903884) × R
    0.000132360000000054 × 6371000     		dl = 843.265560000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80890648--0.80903884) × R
    0.000132360000000054 × 6371000     		dr = 843.265560000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62011173-0.62030348) × cos(-0.80890648) × R
    0.000191750000000046 × 0.690290043058574 × 6371000     		do = 843.285410484746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62011173-0.62030348) × cos(-0.80903884) × R
    0.000191750000000046 × 0.690194270215934 × 6371000     		du = 843.168410621093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80890648)-sin(-0.80903884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690290043058574-0.690194270215934)×R²
    abs(0.62030348-0.62011173)×9.57728426401738e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57728426401738e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57728426401738e-05×40589641000000     		ar = 711064.213972513m²