Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19616 / 21152
↖ ↑ ↗
← S 46.316584°
E 35.507813°		 ← 843.75 m → S 46.316584°
E 35.518799°		 →
↑
843.71 m
↓
↑
843.71 m
↓
S 46.324172°
E 35.507813°		 ← 843.64 m →
711 835 m²		 S 46.324172°
E 35.518799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598648071289062 y=0.645523071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598648071289062 × 215)
    floor (0.598648071289062 × 32768)
    floor (19616.5)     		tx = 19616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645523071289062 × 215)
    floor (0.645523071289062 × 32768)
    floor (21152.5)     		ty = 21152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19616 / 21152 ti = "15/19616/21152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19616/21152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19616 ÷ 215
    19616 ÷ 32768     		x = 0.5986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21152 ÷ 215
    21152 ÷ 32768     		y = 0.6455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5986328125 × 2 - 1) × π
    0.197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61972824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    -0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61972824} λ = 0.61972824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914252549553711))-π/2
    2×atan(0.400816104330366)-π/2
    2×0.381209717281512-π/2
    0.762419434563024-1.57079632675     		φ = -0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61972824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.507813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19616 KachelY 21152 0.61972824 -0.80837689 35.507813 -46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 19617 KachelY 21152 0.61991999 -0.80837689 35.518799 -46.316584
    Unten links KachelX 19616 KachelY + 1 21153 0.61972824 -0.80850932 35.507813 -46.324172
    Unten rechts KachelX + 1 19617 KachelY + 1 21153 0.61991999 -0.80850932 35.518799 -46.324172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80837689--0.80850932) × R
    0.000132429999999961 × 6371000     		dl = 843.711529999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80837689--0.80850932) × R
    0.000132429999999961 × 6371000     		dr = 843.711529999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61972824-0.61991999) × cos(-0.80837689) × R
    0.000191749999999935 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 843.75339469918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61972824-0.61991999) × cos(-0.80850932) × R
    0.000191749999999935 × 0.69057734688062 × 6371000     		du = 843.636392109944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80837689)-sin(-0.80850932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.69057734688062)×R²
    abs(0.61991999-0.61972824)×9.57750737268226e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57750737268226e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57750737268226e-05×40589641000000     		ar = 711835.110408208m²