Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19614 / 15032
↖ ↑ ↗
← N 14.689882°
E 35.485840°		 ← 1 181.71 m → N 14.689882°
E 35.496826°		 →
↑
1 181.76 m
↓
↑
1 181.76 m
↓
N 14.679254°
E 35.485840°		 ← 1 181.76 m →
1 396 524 m²		 N 14.679254°
E 35.496826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598587036132812 y=0.458755493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598587036132812 × 215)
    floor (0.598587036132812 × 32768)
    floor (19614.5)     		tx = 19614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458755493164062 × 215)
    floor (0.458755493164062 × 32768)
    floor (15032.5)     		ty = 15032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19614 / 15032 ti = "15/19614/15032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19614/15032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19614 ÷ 215
    19614 ÷ 32768     		x = 0.59857177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15032 ÷ 215
    15032 ÷ 32768     		y = 0.458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59857177734375 × 2 - 1) × π
    0.1971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61934474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.259242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61934474} λ = 0.61934474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259242753145264))-π/2
    2×atan(1.29594836218763)-π/2
    2×0.913591561681295-π/2
    1.82718312336259-1.57079632675     		φ = 0.25638680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61934474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.485840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25638680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.689882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19614 KachelY 15032 0.61934474 0.25638680 35.485840 14.689882
    Oben rechts KachelX + 1 19615 KachelY 15032 0.61953649 0.25638680 35.496826 14.689882
    Unten links KachelX 19614 KachelY + 1 15033 0.61934474 0.25620131 35.485840 14.679254
    Unten rechts KachelX + 1 19615 KachelY + 1 15033 0.61953649 0.25620131 35.496826 14.679254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25638680-0.25620131) × R
    0.00018549000000001 × 6371000     		dl = 1181.75679000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25638680-0.25620131) × R
    0.00018549000000001 × 6371000     		dr = 1181.75679000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61934474-0.61953649) × cos(0.25638680) × R
    0.000191750000000046 × 0.967312551356243 × 6371000     		do = 1181.70697975471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61934474-0.61953649) × cos(0.25620131) × R
    0.000191750000000046 × 0.967359572590128 × 6371000     		du = 1181.76442273961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25638680)-sin(0.25620131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967312551356243-0.967359572590128)×R²
    abs(0.61953649-0.61934474)×4.70212338844478e-05×R²
    0.000191750000000046×4.70212338844478e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.70212338844478e-05×40589641000000     		ar = 1396524.19293833m²