Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19613 / 15329
↖ ↑ ↗
← N 11.512322°
E 35.474854°		 ← 1 197 m → N 11.512322°
E 35.485840°		 →
↑
1 197.05 m
↓
↑
1 197.05 m
↓
N 11.501557°
E 35.474854°		 ← 1 197.05 m →
1 432 892 m²		 N 11.501557°
E 35.485840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598556518554688 y=0.467819213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598556518554688 × 215)
    floor (0.598556518554688 × 32768)
    floor (19613.5)     		tx = 19613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467819213867188 × 215)
    floor (0.467819213867188 × 32768)
    floor (15329.5)     		ty = 15329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19613 / 15329 ti = "15/19613/15329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19613/15329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19613 ÷ 215
    19613 ÷ 32768     		x = 0.598541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15329 ÷ 215
    15329 ÷ 32768     		y = 0.467803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598541259765625 × 2 - 1) × π
    0.19708251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61915300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467803955078125 × 2 - 1) × π
    0.06439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.202293716396637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61915300} λ = 0.61915300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202293716396637))-π/2
    2×atan(1.22420752513377)-π/2
    2×0.88586212869645-π/2
    1.7717242573929-1.57079632675     		φ = 0.20092793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61915300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.474854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20092793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.512322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19613 KachelY 15329 0.61915300 0.20092793 35.474854 11.512322
    Oben rechts KachelX + 1 19614 KachelY 15329 0.61934474 0.20092793 35.485840 11.512322
    Unten links KachelX 19613 KachelY + 1 15330 0.61915300 0.20074004 35.474854 11.501557
    Unten rechts KachelX + 1 19614 KachelY + 1 15330 0.61934474 0.20074004 35.485840 11.501557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20092793-0.20074004) × R
    0.000187889999999996 × 6371000     		dl = 1197.04718999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20092793-0.20074004) × R
    0.000187889999999996 × 6371000     		dr = 1197.04718999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61915300-0.61934474) × cos(0.20092793) × R
    0.000191739999999996 × 0.979881804690438 × 6371000     		do = 1196.99964470087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61915300-0.61934474) × cos(0.20074004) × R
    0.000191739999999996 × 0.979919286231872 × 6371000     		du = 1197.04543123509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20092793)-sin(0.20074004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979881804690438-0.979919286231872)×R²
    abs(0.61934474-0.61915300)×3.74815414341256e-05×R²
    0.000191739999999996×3.74815414341256e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.74815414341256e-05×40589641000000     		ar = 1432892.46965661m²