Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1961 / 2478
↖ ↑ ↗
← S 35.317367°
W  7.646484°		 ← 7 974.39 m → S 35.317367°
W  7.558594°		 →
↑
7 970.82 m
↓
↑
7 970.82 m
↓
S 35.389050°
W  7.646484°		 ← 7 967.31 m →
63 534 251 m²		 S 35.389050°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4788818359375 y=0.6051025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4788818359375 × 212)
    floor (0.4788818359375 × 4096)
    floor (1961.5)     		tx = 1961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6051025390625 × 212)
    floor (0.6051025390625 × 4096)
    floor (2478.5)     		ty = 2478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1961 / 2478 ti = "12/1961/2478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1961/2478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1961 ÷ 212
    1961 ÷ 4096     		x = 0.478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2478 ÷ 212
    2478 ÷ 4096     		y = 0.60498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60498046875 × 2 - 1) × π
    -0.2099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.659611738771973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13345633} λ = -0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.659611738771973))-π/2
    2×atan(0.517052046787416)-π/2
    2×0.477196000616048-π/2
    0.954392001232095-1.57079632675     		φ = -0.61640433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61640433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.317367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1961 KachelY 2478 -0.13345633 -0.61640433 -7.646484 -35.317367
    Oben rechts KachelX + 1 1962 KachelY 2478 -0.13192235 -0.61640433 -7.558594 -35.317367
    Unten links KachelX 1961 KachelY + 1 2479 -0.13345633 -0.61765544 -7.646484 -35.389050
    Unten rechts KachelX + 1 1962 KachelY + 1 2479 -0.13192235 -0.61765544 -7.558594 -35.389050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61640433--0.61765544) × R
    0.00125111 × 6371000     		dl = 7970.82181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61640433--0.61765544) × R
    0.00125111 × 6371000     		dr = 7970.82181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13345633--0.13192235) × cos(-0.61640433) × R
    0.00153398000000002 × 0.815962401608757 × 6371000     		do = 7974.38960070705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13345633--0.13192235) × cos(-0.61765544) × R
    0.00153398000000002 × 0.81523849028218 × 6371000     		du = 7967.3148250273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61640433)-sin(-0.61765544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.815962401608757-0.81523849028218)×R²
    abs(-0.13192235--0.13345633)×0.000723911326577009×R²
    0.00153398000000002×0.000723911326577009×6371000²
    0.00153398000000002×0.000723911326577009×40589641000000     		ar = 63534250.9499941m²