Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1961 / 2405
↖ ↑ ↗
← S 29.916852°
W  7.646484°		 ← 8 470.74 m → S 29.916852°
W  7.558594°		 →
↑
8 467.50 m
↓
↑
8 467.50 m
↓
S 29.993002°
W  7.646484°		 ← 8 464.25 m →
71 698 560 m²		 S 29.993002°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4788818359375 y=0.5872802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4788818359375 × 212)
    floor (0.4788818359375 × 4096)
    floor (1961.5)     		tx = 1961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5872802734375 × 212)
    floor (0.5872802734375 × 4096)
    floor (2405.5)     		ty = 2405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1961 / 2405 ti = "12/1961/2405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1961/2405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1961 ÷ 212
    1961 ÷ 4096     		x = 0.478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2405 ÷ 212
    2405 ÷ 4096     		y = 0.587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13345633} λ = -0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547631141259522))-π/2
    2×atan(0.578318143035143)-π/2
    2×0.524324376754385-π/2
    1.04864875350877-1.57079632675     		φ = -0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1961 KachelY 2405 -0.13345633 -0.52214757 -7.646484 -29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 1962 KachelY 2405 -0.13192235 -0.52214757 -7.558594 -29.916852
    Unten links KachelX 1961 KachelY + 1 2406 -0.13345633 -0.52347664 -7.646484 -29.993002
    Unten rechts KachelX + 1 1962 KachelY + 1 2406 -0.13192235 -0.52347664 -7.558594 -29.993002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52214757--0.52347664) × R
    0.00132907000000004 × 6371000     		dl = 8467.50497000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52214757--0.52347664) × R
    0.00132907000000004 × 6371000     		dr = 8467.50497000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13345633--0.13192235) × cos(-0.52214757) × R
    0.00153398000000002 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 8470.73704083695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13345633--0.13192235) × cos(-0.52347664) × R
    0.00153398000000002 × 0.866086465124141 × 6371000     		du = 8464.25140077796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52214757)-sin(-0.52347664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.866086465124141)×R²
    abs(-0.13192235--0.13345633)×0.000663629281172029×R²
    0.00153398000000002×0.000663629281172029×6371000²
    0.00153398000000002×0.000663629281172029×40589641000000     		ar = 71698559.9523269m²