Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19609 / 14999
↖ ↑ ↗
← N 15.040296°
E 35.430908°		 ← 1 179.73 m → N 15.040296°
E 35.441894°		 →
↑
1 179.85 m
↓
↑
1 179.85 m
↓
N 15.029686°
E 35.430908°		 ← 1 179.79 m →
1 391 932 m²		 N 15.029686°
E 35.441894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598434448242188 y=0.457748413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598434448242188 × 215)
    floor (0.598434448242188 × 32768)
    floor (19609.5)     		tx = 19609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457748413085938 × 215)
    floor (0.457748413085938 × 32768)
    floor (14999.5)     		ty = 14999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19609 / 14999 ti = "15/19609/14999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19609/14999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19609 ÷ 215
    19609 ÷ 32768     		x = 0.598419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14999 ÷ 215
    14999 ÷ 32768     		y = 0.457733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598419189453125 × 2 - 1) × π
    0.19683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61838601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457733154296875 × 2 - 1) × π
    0.08453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265570423895111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61838601} λ = 0.61838601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265570423895111))-π/2
    2×atan(1.30417469605032)-π/2
    2×0.916649506197075-π/2
    1.83329901239415-1.57079632675     		φ = 0.26250269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61838601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.430908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26250269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.040296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19609 KachelY 14999 0.61838601 0.26250269 35.430908 15.040296
    Oben rechts KachelX + 1 19610 KachelY 14999 0.61857775 0.26250269 35.441894 15.040296
    Unten links KachelX 19609 KachelY + 1 15000 0.61838601 0.26231750 35.430908 15.029686
    Unten rechts KachelX + 1 19610 KachelY + 1 15000 0.61857775 0.26231750 35.441894 15.029686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26250269-0.26231750) × R
    0.000185190000000002 × 6371000     		dl = 1179.84549000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26250269-0.26231750) × R
    0.000185190000000002 × 6371000     		dr = 1179.84549000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61838601-0.61857775) × cos(0.26250269) × R
    0.000191739999999996 × 0.965743559410171 × 6371000     		do = 1179.72871008798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61838601-0.61857775) × cos(0.26231750) × R
    0.000191739999999996 × 0.965791599343304 × 6371000     		du = 1179.78739449523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26250269)-sin(0.26231750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965743559410171-0.965791599343304)×R²
    abs(0.61857775-0.61838601)×4.80399331331816e-05×R²
    0.000191739999999996×4.80399331331816e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.80399331331816e-05×40589641000000     		ar = 1391932.22126566m²