Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19606 / 14894
↖ ↑ ↗
← N 16.151369°
E 35.397949°		 ← 1 173.42 m → N 16.151369°
E 35.408936°		 →
↑
1 173.41 m
↓
↑
1 173.41 m
↓
N 16.140816°
E 35.397949°		 ← 1 173.48 m →
1 376 942 m²		 N 16.140816°
E 35.408936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598342895507812 y=0.454544067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598342895507812 × 215)
    floor (0.598342895507812 × 32768)
    floor (19606.5)     		tx = 19606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454544067382812 × 215)
    floor (0.454544067382812 × 32768)
    floor (14894.5)     		ty = 14894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19606 / 14894 ti = "15/19606/14894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19606/14894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19606 ÷ 215
    19606 ÷ 32768     		x = 0.59832763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14894 ÷ 215
    14894 ÷ 32768     		y = 0.45452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59832763671875 × 2 - 1) × π
    0.1966552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61781076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    0.0909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.285703921735535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61781076} λ = 0.61781076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285703921735535))-π/2
    2×atan(1.33069840604588)-π/2
    2×0.926345443221363-π/2
    1.85269088644273-1.57079632675     		φ = 0.28189456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61781076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28189456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.151369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19606 KachelY 14894 0.61781076 0.28189456 35.397949 16.151369
    Oben rechts KachelX + 1 19607 KachelY 14894 0.61800251 0.28189456 35.408936 16.151369
    Unten links KachelX 19606 KachelY + 1 14895 0.61781076 0.28171038 35.397949 16.140816
    Unten rechts KachelX + 1 19607 KachelY + 1 14895 0.61800251 0.28171038 35.408936 16.140816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28189456-0.28171038) × R
    0.000184180000000034 × 6371000     		dl = 1173.41078000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28189456-0.28171038) × R
    0.000184180000000034 × 6371000     		dr = 1173.41078000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61781076-0.61800251) × cos(0.28189456) × R
    0.000191749999999935 × 0.96053014148114 × 6371000     		do = 1173.42132164102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61781076-0.61800251) × cos(0.28171038) × R
    0.000191749999999935 × 0.960581359631715 × 6371000     		du = 1173.48389174407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28189456)-sin(0.28171038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96053014148114-0.960581359631715)×R²
    abs(0.61800251-0.61781076)×5.1218150575183e-05×R²
    0.000191749999999935×5.1218150575183e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.1218150575183e-05×40589641000000     		ar = 1376941.9424046m²