Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1960 / 2477
↖ ↑ ↗
← S 35.245619°
W  7.734375°		 ← 7 981.46 m → S 35.245619°
W  7.646484°		 →
↑
7 977.96 m
↓
↑
7 977.96 m
↓
S 35.317367°
W  7.734375°		 ← 7 974.39 m →
63 647 545 m²		 S 35.317367°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4786376953125 y=0.6048583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4786376953125 × 212)
    floor (0.4786376953125 × 4096)
    floor (1960.5)     		tx = 1960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6048583984375 × 212)
    floor (0.6048583984375 × 4096)
    floor (2477.5)     		ty = 2477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1960 / 2477 ti = "12/1960/2477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1960/2477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1960 ÷ 212
    1960 ÷ 4096     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2477 ÷ 212
    2477 ÷ 4096     		y = 0.604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.20947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.658077757984131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.658077757984131))-π/2
    2×atan(0.517845803341506)-π/2
    2×0.477822113356284-π/2
    0.955644226712568-1.57079632675     		φ = -0.61515210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61515210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.245619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1960 KachelY 2477 -0.13499031 -0.61515210 -7.734375 -35.245619
    Oben rechts KachelX + 1 1961 KachelY 2477 -0.13345633 -0.61515210 -7.646484 -35.245619
    Unten links KachelX 1960 KachelY + 1 2478 -0.13499031 -0.61640433 -7.734375 -35.317367
    Unten rechts KachelX + 1 1961 KachelY + 1 2478 -0.13345633 -0.61640433 -7.646484 -35.317367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61515210--0.61640433) × R
    0.00125222999999997 × 6371000     		dl = 7977.95732999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61515210--0.61640433) × R
    0.00125222999999997 × 6371000     		dr = 7977.95732999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13345633) × cos(-0.61515210) × R
    0.00153397999999999 × 0.816685682062136 × 6371000     		do = 7981.45821087135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13345633) × cos(-0.61640433) × R
    0.00153397999999999 × 0.815962401608757 × 6371000     		du = 7974.3896007069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61515210)-sin(-0.61640433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.816685682062136-0.815962401608757)×R²
    abs(-0.13345633--0.13499031)×0.000723280453378772×R²
    0.00153397999999999×0.000723280453378772×6371000²
    0.00153397999999999×0.000723280453378772×40589641000000     		ar = 63647544.8194074m²