Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19599 / 14899
↖ ↑ ↗
← N 16.098598°
E 35.321045°		 ← 1 173.73 m → N 16.098598°
E 35.332031°		 →
↑
1 173.73 m
↓
↑
1 173.73 m
↓
N 16.088042°
E 35.321045°		 ← 1 173.80 m →
1 377 682 m²		 N 16.088042°
E 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598129272460938 y=0.454696655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598129272460938 × 215)
    floor (0.598129272460938 × 32768)
    floor (19599.5)     		tx = 19599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454696655273438 × 215)
    floor (0.454696655273438 × 32768)
    floor (14899.5)     		ty = 14899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19599 / 14899 ti = "15/19599/14899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19599/14899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19599 ÷ 215
    19599 ÷ 32768     		x = 0.598114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14899 ÷ 215
    14899 ÷ 32768     		y = 0.454681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598114013671875 × 2 - 1) × π
    0.19622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61646853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454681396484375 × 2 - 1) × π
    0.09063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.284745183743134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61646853} λ = 0.61646853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.284745183743134))-π/2
    2×atan(1.32942322630688)-π/2
    2×0.925884933510926-π/2
    1.85176986702185-1.57079632675     		φ = 0.28097354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61646853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.321045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28097354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.098598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19599 KachelY 14899 0.61646853 0.28097354 35.321045 16.098598
    Oben rechts KachelX + 1 19600 KachelY 14899 0.61666028 0.28097354 35.332031 16.098598
    Unten links KachelX 19599 KachelY + 1 14900 0.61646853 0.28078931 35.321045 16.088042
    Unten rechts KachelX + 1 19600 KachelY + 1 14900 0.61666028 0.28078931 35.332031 16.088042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28097354-0.28078931) × R
    0.000184230000000007 × 6371000     		dl = 1173.72933000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28097354-0.28078931) × R
    0.000184230000000007 × 6371000     		dr = 1173.72933000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61646853-0.61666028) × cos(0.28097354) × R
    0.000191749999999935 × 0.960785939640578 × 6371000     		do = 1173.73381471266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61646853-0.61666028) × cos(0.28078931) × R
    0.000191749999999935 × 0.960837008682761 × 6371000     		du = 1173.79620265905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28097354)-sin(0.28078931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960785939640578-0.960837008682761)×R²
    abs(0.61666028-0.61646853)×5.1069042182994e-05×R²
    0.000191749999999935×5.1069042182994e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.1069042182994e-05×40589641000000     		ar = 1377682.42111894m²