Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19595 / 14981
↖ ↑ ↗
← N 69.401582°
W 72.361450°		 ← 214.91 m → N 69.401582°
W 72.355957°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
N 69.399649°
W 72.361450°		 ← 214.93 m →
46 198 m²		 N 69.399649°
W 72.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.299003601074219 y=0.228599548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.299003601074219 × 216)
    floor (0.299003601074219 × 65536)
    floor (19595.5)     		tx = 19595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228599548339844 × 216)
    floor (0.228599548339844 × 65536)
    floor (14981.5)     		ty = 14981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19595 / 14981 ti = "16/19595/14981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19595/14981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19595 ÷ 216
    19595 ÷ 65536     		x = 0.298995971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14981 ÷ 216
    14981 ÷ 65536     		y = 0.228591918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.298995971679688 × 2 - 1) × π
    -0.402008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.26294556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228591918945312 × 2 - 1) × π
    0.542816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70530726708388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.26294556} λ = -1.26294556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70530726708388))-π/2
    2×atan(5.50307632167068)-π/2
    2×1.39104121602454-π/2
    2.78208243204907-1.57079632675     		φ = 1.21128611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.26294556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.361450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21128611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.401582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19595 KachelY 14981 -1.26294556 1.21128611 -72.361450 69.401582
    Oben rechts KachelX + 1 19596 KachelY 14981 -1.26284968 1.21128611 -72.355957 69.401582
    Unten links KachelX 19595 KachelY + 1 14982 -1.26294556 1.21125237 -72.361450 69.399649
    Unten rechts KachelX + 1 19596 KachelY + 1 14982 -1.26284968 1.21125237 -72.355957 69.399649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21128611-1.21125237) × R
    3.37400000001153e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21128611-1.21125237) × R
    3.37400000001153e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.26294556--1.26284968) × cos(1.21128611) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.351815804494363 × 6371000     		do = 214.907204862631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.26294556--1.26284968) × cos(1.21125237) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.351847387270581 × 6371000     		du = 214.926497248226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21128611)-sin(1.21125237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351815804494363-0.351847387270581)×R²
    abs(-1.26284968--1.26294556)×3.15827762181198e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15827762181198e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15827762181198e-05×40589641000000     		ar = 46197.9976122706m²