Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1959 / 1214
↖ ↑ ↗
← N 58.904646°
W  7.822266°		 ← 5 047.39 m → N 58.904646°
W  7.734375°		 →
↑
5 050.67 m
↓
↑
5 050.67 m
↓
N 58.859224°
W  7.822266°		 ← 5 054.03 m →
25 509 497 m²		 N 58.859224°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4783935546875 y=0.2965087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4783935546875 × 212)
    floor (0.4783935546875 × 4096)
    floor (1959.5)     		tx = 1959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2965087890625 × 212)
    floor (0.2965087890625 × 4096)
    floor (1214.5)     		ty = 1214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1959 / 1214 ti = "12/1959/1214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1959/1214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1959 ÷ 212
    1959 ÷ 4096     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1214 ÷ 212
    1214 ÷ 4096     		y = 0.29638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29638671875 × 2 - 1) × π
    0.4072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27933997706006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27933997706006))-π/2
    2×atan(3.59426664407396)-π/2
    2×1.29943816950722-π/2
    2.59887633901444-1.57079632675     		φ = 1.02808001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02808001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.904646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1959 KachelY 1214 -0.13652429 1.02808001 -7.822266 58.904646
    Oben rechts KachelX + 1 1960 KachelY 1214 -0.13499031 1.02808001 -7.734375 58.904646
    Unten links KachelX 1959 KachelY + 1 1215 -0.13652429 1.02728725 -7.822266 58.859224
    Unten rechts KachelX + 1 1960 KachelY + 1 1215 -0.13499031 1.02728725 -7.734375 58.859224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02808001-1.02728725) × R
    0.000792759999999948 × 6371000     		dl = 5050.67395999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02808001-1.02728725) × R
    0.000792759999999948 × 6371000     		dr = 5050.67395999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13499031) × cos(1.02808001) × R
    0.00153397999999999 × 0.516463900540993 × 6371000     		do = 5047.39476904155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13499031) × cos(1.02728725) × R
    0.00153397999999999 × 0.517142585672466 × 6371000     		du = 5054.02754972348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02808001)-sin(1.02728725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516463900540993-0.517142585672466)×R²
    abs(-0.13499031--0.13652429)×0.000678685131472512×R²
    0.00153397999999999×0.000678685131472512×6371000²
    0.00153397999999999×0.000678685131472512×40589641000000     		ar = 25509496.6681695m²