Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19589 / 14718
↖ ↑ ↗
← N 17.999632°
E 35.211181°		 ← 1 161.85 m → N 17.999632°
E 35.222168°		 →
↑
1 161.88 m
↓
↑
1 161.88 m
↓
N 17.989183°
E 35.211181°		 ← 1 161.92 m →
1 349 970 m²		 N 17.989183°
E 35.222168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597824096679688 y=0.449172973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597824096679688 × 215)
    floor (0.597824096679688 × 32768)
    floor (19589.5)     		tx = 19589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449172973632812 × 215)
    floor (0.449172973632812 × 32768)
    floor (14718.5)     		ty = 14718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19589 / 14718 ti = "15/19589/14718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19589/14718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19589 ÷ 215
    19589 ÷ 32768     		x = 0.597808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14718 ÷ 215
    14718 ÷ 32768     		y = 0.44915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597808837890625 × 2 - 1) × π
    0.19561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61455105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    0.1016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.319451499068054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61455105} λ = 0.61455105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319451499068054))-π/2
    2×atan(1.37637261559264)-π/2
    2×0.942474581306245-π/2
    1.88494916261249-1.57079632675     		φ = 0.31415284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61455105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.211181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31415284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.999632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19589 KachelY 14718 0.61455105 0.31415284 35.211181 17.999632
    Oben rechts KachelX + 1 19590 KachelY 14718 0.61474280 0.31415284 35.222168 17.999632
    Unten links KachelX 19589 KachelY + 1 14719 0.61455105 0.31397047 35.211181 17.989183
    Unten rechts KachelX + 1 19590 KachelY + 1 14719 0.61474280 0.31397047 35.222168 17.989183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31415284-0.31397047) × R
    0.000182369999999987 × 6371000     		dl = 1161.87926999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31415284-0.31397047) × R
    0.000182369999999987 × 6371000     		dr = 1161.87926999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61455105-0.61474280) × cos(0.31415284) × R
    0.000191750000000046 × 0.951058501820641 × 6371000     		do = 1161.85039487057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61455105-0.61474280) × cos(0.31397047) × R
    0.000191750000000046 × 0.95111484031961 × 6371000     		du = 1161.9192201922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31415284)-sin(0.31397047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951058501820641-0.95111484031961)×R²
    abs(0.61474280-0.61455105)×5.63384989692439e-05×R²
    0.000191750000000046×5.63384989692439e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.63384989692439e-05×40589641000000     		ar = 1349969.87573996m²