Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19589 / 10631
↖ ↑ ↗
← N 81.770892°
W126.197205°		 ← 43.72 m → N 81.770892°
W126.194458°		 →
↑
43.71 m
↓
↑
43.71 m
↓
N 81.770499°
W126.197205°		 ← 43.72 m →
1 911 m²		 N 81.770499°
W126.194458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149456024169922 y=0.0811119079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149456024169922 × 217)
    floor (0.149456024169922 × 131072)
    floor (19589.5)     		tx = 19589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0811119079589844 × 217)
    floor (0.0811119079589844 × 131072)
    floor (10631.5)     		ty = 10631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19589 / 10631 ti = "17/19589/10631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19589/10631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19589 ÷ 217
    19589 ÷ 131072     		x = 0.149452209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10631 ÷ 217
    10631 ÷ 131072     		y = 0.0811080932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149452209472656 × 2 - 1) × π
    -0.701095581054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.20255673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0811080932617188 × 2 - 1) × π
    0.837783813476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.63197547363918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20255673} λ = -2.20255673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63197547363918))-π/2
    2×atan(13.9012042578491)-π/2
    2×1.49898381487845-π/2
    2.99796762975691-1.57079632675     		φ = 1.42717130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20255673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.197205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42717130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.770892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19589 KachelY 10631 -2.20255673 1.42717130 -126.197205 81.770892
    Oben rechts KachelX + 1 19590 KachelY 10631 -2.20250879 1.42717130 -126.194458 81.770892
    Unten links KachelX 19589 KachelY + 1 10632 -2.20255673 1.42716444 -126.197205 81.770499
    Unten rechts KachelX + 1 19590 KachelY + 1 10632 -2.20250879 1.42716444 -126.194458 81.770499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42717130-1.42716444) × R
    6.85999999983089e-06 × 6371000     		dl = 43.7050599989226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42717130-1.42716444) × R
    6.85999999983089e-06 × 6371000     		dr = 43.7050599989226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20255673--2.20250879) × cos(1.42717130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143131749447202 × 6371000     		do = 43.7161204923775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20255673--2.20250879) × cos(1.42716444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143138538810829 × 6371000     		du = 43.7181941387876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42717130)-sin(1.42716444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143131749447202-0.143138538810829)×R²
    abs(-2.20250879--2.20255673)×6.78936362752403e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.78936362752403e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.78936362752403e-06×40589641000000     		ar = 1910.66098355253m²