Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19588 / 14427
↖ ↑ ↗
← N 21.012727°
E 35.200196°		 ← 1 140.34 m → N 21.012727°
E 35.211181°		 →
↑
1 140.41 m
↓
↑
1 140.41 m
↓
N 21.002471°
E 35.200196°		 ← 1 140.42 m →
1 300 501 m²		 N 21.002471°
E 35.211181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597793579101562 y=0.440292358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597793579101562 × 215)
    floor (0.597793579101562 × 32768)
    floor (19588.5)     		tx = 19588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440292358398438 × 215)
    floor (0.440292358398438 × 32768)
    floor (14427.5)     		ty = 14427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19588 / 14427 ti = "15/19588/14427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19588/14427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19588 ÷ 215
    19588 ÷ 32768     		x = 0.5977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14427 ÷ 215
    14427 ÷ 32768     		y = 0.440277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5977783203125 × 2 - 1) × π
    0.195556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61435931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440277099609375 × 2 - 1) × π
    0.11944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3752500502258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61435931} λ = 0.61435931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3752500502258))-π/2
    2×atan(1.45535528104051)-π/2
    2×0.968768800213659-π/2
    1.93753760042732-1.57079632675     		φ = 0.36674127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61435931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.200196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36674127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.012727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19588 KachelY 14427 0.61435931 0.36674127 35.200196 21.012727
    Oben rechts KachelX + 1 19589 KachelY 14427 0.61455105 0.36674127 35.211181 21.012727
    Unten links KachelX 19588 KachelY + 1 14428 0.61435931 0.36656227 35.200196 21.002471
    Unten rechts KachelX + 1 19589 KachelY + 1 14428 0.61455105 0.36656227 35.211181 21.002471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36674127-0.36656227) × R
    0.000178999999999985 × 6371000     		dl = 1140.4089999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36674127-0.36656227) × R
    0.000178999999999985 × 6371000     		dr = 1140.4089999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61435931-0.61455105) × cos(0.36674127) × R
    0.000191739999999996 × 0.933500800239597 × 6371000     		do = 1140.34174414309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61435931-0.61455105) × cos(0.36656227) × R
    0.000191739999999996 × 0.933564970265346 × 6371000     		du = 1140.42013267695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36674127)-sin(0.36656227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933500800239597-0.933564970265346)×R²
    abs(0.61455105-0.61435931)×6.41700257490996e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41700257490996e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41700257490996e-05×40589641000000     		ar = 1300500.68906368m²