Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19587 / 10629
↖ ↑ ↗
← N 81.771678°
W126.202698°		 ← 43.71 m → N 81.771678°
W126.199951°		 →
↑
43.71 m
↓
↑
43.71 m
↓
N 81.771285°
W126.202698°		 ← 43.71 m →
1 910 m²		 N 81.771285°
W126.199951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149440765380859 y=0.0810966491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149440765380859 × 217)
    floor (0.149440765380859 × 131072)
    floor (19587.5)     		tx = 19587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0810966491699219 × 217)
    floor (0.0810966491699219 × 131072)
    floor (10629.5)     		ty = 10629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19587 / 10629 ti = "17/19587/10629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19587/10629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19587 ÷ 217
    19587 ÷ 131072     		x = 0.149436950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10629 ÷ 217
    10629 ÷ 131072     		y = 0.0810928344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149436950683594 × 2 - 1) × π
    -0.701126098632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.20265260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0810928344726562 × 2 - 1) × π
    0.837814331054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.63207134743842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20265260} λ = -2.20265260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63207134743842))-π/2
    2×atan(13.9025370830057)-π/2
    2×1.49899067584511-π/2
    2.99798135169021-1.57079632675     		φ = 1.42718502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20265260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.202698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42718502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.771678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19587 KachelY 10629 -2.20265260 1.42718502 -126.202698 81.771678
    Oben rechts KachelX + 1 19588 KachelY 10629 -2.20260466 1.42718502 -126.199951 81.771678
    Unten links KachelX 19587 KachelY + 1 10630 -2.20265260 1.42717816 -126.202698 81.771285
    Unten rechts KachelX + 1 19588 KachelY + 1 10630 -2.20260466 1.42717816 -126.199951 81.771285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42718502-1.42717816) × R
    6.86000000005293e-06 × 6371000     		dl = 43.7050600003372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42718502-1.42717816) × R
    6.86000000005293e-06 × 6371000     		dr = 43.7050600003372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20265260--2.20260466) × cos(1.42718502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143118170699739 × 6371000     		do = 43.7119731933856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20265260--2.20260466) × cos(1.42717816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143124960076838 × 6371000     		du = 43.7140468439101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42718502)-sin(1.42717816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143118170699739-0.143124960076838)×R²
    abs(-2.20260466--2.20265260)×6.78937709885918e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.78937709885918e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.78937709885918e-06×40589641000000     		ar = 1910.47972570503m²