Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19583 / 14465
↖ ↑ ↗
← N 80.118093°
W126.213684°		 ← 52.42 m → N 80.118093°
W126.210937°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.117621°
W126.213684°		 ← 52.42 m →
2 748 m²		 N 80.117621°
W126.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149410247802734 y=0.110363006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149410247802734 × 217)
    floor (0.149410247802734 × 131072)
    floor (19583.5)     		tx = 19583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110363006591797 × 217)
    floor (0.110363006591797 × 131072)
    floor (14465.5)     		ty = 14465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19583 / 14465 ti = "17/19583/14465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19583/14465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19583 ÷ 217
    19583 ÷ 131072     		x = 0.149406433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14465 ÷ 217
    14465 ÷ 131072     		y = 0.110359191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149406433105469 × 2 - 1) × π
    -0.701187133789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.20284435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110359191894531 × 2 - 1) × π
    0.779281616210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.44818540049589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20284435} λ = -2.20284435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44818540049589))-π/2
    2×atan(11.5673375783664)-π/2
    2×1.48456041589824-π/2
    2.96912083179648-1.57079632675     		φ = 1.39832451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20284435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.213684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39832451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.118093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19583 KachelY 14465 -2.20284435 1.39832451 -126.213684 80.118093
    Oben rechts KachelX + 1 19584 KachelY 14465 -2.20279641 1.39832451 -126.210937 80.118093
    Unten links KachelX 19583 KachelY + 1 14466 -2.20284435 1.39831628 -126.213684 80.117621
    Unten rechts KachelX + 1 19584 KachelY + 1 14466 -2.20279641 1.39831628 -126.210937 80.117621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39832451-1.39831628) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39832451-1.39831628) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20284435--2.20279641) × cos(1.39832451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171618014724323 × 6371000     		do = 52.416559144473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20284435--2.20279641) × cos(1.39831628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171626122614681 × 6371000     		du = 52.4190355028854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39832451)-sin(1.39831628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171618014724323-0.171626122614681)×R²
    abs(-2.20279641--2.20284435)×8.10789035787796e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.10789035787796e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.10789035787796e-06×40589641000000     		ar = 2748.43966494336m²