Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19581 / 14962
↖ ↑ ↗
← N 15.432501°
E 35.123291°		 ← 1 177.59 m → N 15.432501°
E 35.134277°		 →
↑
1 177.62 m
↓
↑
1 177.62 m
↓
N 15.421910°
E 35.123291°		 ← 1 177.65 m →
1 386 787 m²		 N 15.421910°
E 35.134277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597579956054688 y=0.456619262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597579956054688 × 215)
    floor (0.597579956054688 × 32768)
    floor (19581.5)     		tx = 19581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456619262695312 × 215)
    floor (0.456619262695312 × 32768)
    floor (14962.5)     		ty = 14962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19581 / 14962 ti = "15/19581/14962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19581/14962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19581 ÷ 215
    19581 ÷ 32768     		x = 0.597564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14962 ÷ 215
    14962 ÷ 32768     		y = 0.45660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597564697265625 × 2 - 1) × π
    0.19512939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61301707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45660400390625 × 2 - 1) × π
    0.0867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.272665085038879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61301707} λ = 0.61301707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272665085038879))-π/2
    2×atan(1.3134602736559)-π/2
    2×0.920072139496612-π/2
    1.84014427899322-1.57079632675     		φ = 0.26934795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61301707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.123291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26934795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.432501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19581 KachelY 14962 0.61301707 0.26934795 35.123291 15.432501
    Oben rechts KachelX + 1 19582 KachelY 14962 0.61320882 0.26934795 35.134277 15.432501
    Unten links KachelX 19581 KachelY + 1 14963 0.61301707 0.26916311 35.123291 15.421910
    Unten rechts KachelX + 1 19582 KachelY + 1 14963 0.61320882 0.26916311 35.134277 15.421910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26934795-0.26916311) × R
    0.000184840000000019 × 6371000     		dl = 1177.61564000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26934795-0.26916311) × R
    0.000184840000000019 × 6371000     		dr = 1177.61564000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61301707-0.61320882) × cos(0.26934795) × R
    0.000191749999999935 × 0.963944613704015 × 6371000     		do = 1177.59257492651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61301707-0.61320882) × cos(0.26916311) × R
    0.000191749999999935 × 0.963993783706625 × 6371000     		du = 1177.65264293162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26934795)-sin(0.26916311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963944613704015-0.963993783706625)×R²
    abs(0.61320882-0.61301707)×4.91700026108433e-05×R²
    0.000191749999999935×4.91700026108433e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.91700026108433e-05×40589641000000     		ar = 1386786.80624088m²