Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19579 / 14717
↖ ↑ ↗
← N 18.010080°
E 35.101319°		 ← 1 161.72 m → N 18.010080°
E 35.112304°		 →
↑
1 161.75 m
↓
↑
1 161.75 m
↓
N 17.999632°
E 35.101319°		 ← 1 161.79 m →
1 349 671 m²		 N 17.999632°
E 35.112304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597518920898438 y=0.449142456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597518920898438 × 215)
    floor (0.597518920898438 × 32768)
    floor (19579.5)     		tx = 19579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449142456054688 × 215)
    floor (0.449142456054688 × 32768)
    floor (14717.5)     		ty = 14717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19579 / 14717 ti = "15/19579/14717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19579/14717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19579 ÷ 215
    19579 ÷ 32768     		x = 0.597503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14717 ÷ 215
    14717 ÷ 32768     		y = 0.449127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597503662109375 × 2 - 1) × π
    0.19500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61263358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449127197265625 × 2 - 1) × π
    0.10174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.319643246666534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61263358} λ = 0.61263358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319643246666534))-π/2
    2×atan(1.37663655704055)-π/2
    2×0.942565760196436-π/2
    1.88513152039287-1.57079632675     		φ = 0.31433519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61263358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.101319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31433519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.010080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19579 KachelY 14717 0.61263358 0.31433519 35.101319 18.010080
    Oben rechts KachelX + 1 19580 KachelY 14717 0.61282532 0.31433519 35.112304 18.010080
    Unten links KachelX 19579 KachelY + 1 14718 0.61263358 0.31415284 35.101319 17.999632
    Unten rechts KachelX + 1 19580 KachelY + 1 14718 0.61282532 0.31415284 35.112304 17.999632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31433519-0.31415284) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dl = 1161.75184999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31433519-0.31415284) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dr = 1161.75184999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61263358-0.61282532) × cos(0.31433519) × R
    0.000191739999999996 × 0.951002137874277 × 6371000     		do = 1161.7209501149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61263358-0.61282532) × cos(0.31415284) × R
    0.000191739999999996 × 0.951058501820641 × 6371000     		du = 1161.78980293311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31433519)-sin(0.31415284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951002137874277-0.951058501820641)×R²
    abs(0.61282532-0.61263358)×5.63639463635468e-05×R²
    0.000191739999999996×5.63639463635468e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.63639463635468e-05×40589641000000     		ar = 1349671.46166417m²