Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19579 / 14701
↖ ↑ ↗
← N 18.177169°
E 35.101319°		 ← 1 160.61 m → N 18.177169°
E 35.112304°		 →
↑
1 160.67 m
↓
↑
1 160.67 m
↓
N 18.166730°
E 35.101319°		 ← 1 160.68 m →
1 347 129 m²		 N 18.166730°
E 35.112304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597518920898438 y=0.448654174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597518920898438 × 215)
    floor (0.597518920898438 × 32768)
    floor (19579.5)     		tx = 19579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448654174804688 × 215)
    floor (0.448654174804688 × 32768)
    floor (14701.5)     		ty = 14701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19579 / 14701 ti = "15/19579/14701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19579/14701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19579 ÷ 215
    19579 ÷ 32768     		x = 0.597503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14701 ÷ 215
    14701 ÷ 32768     		y = 0.448638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.597503662109375 × 2 - 1) × π
    0.19500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61263358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448638916015625 × 2 - 1) × π
    0.10272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.322711208242218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61263358} λ = 0.61263358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322711208242218))-π/2
    2×atan(1.38086651045067)-π/2
    2×0.944023885462127-π/2
    1.88804777092425-1.57079632675     		φ = 0.31725144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61263358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.101319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31725144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.177169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19579 KachelY 14701 0.61263358 0.31725144 35.101319 18.177169
    Oben rechts KachelX + 1 19580 KachelY 14701 0.61282532 0.31725144 35.112304 18.177169
    Unten links KachelX 19579 KachelY + 1 14702 0.61263358 0.31706926 35.101319 18.166730
    Unten rechts KachelX + 1 19580 KachelY + 1 14702 0.61282532 0.31706926 35.112304 18.166730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31725144-0.31706926) × R
    0.000182179999999976 × 6371000     		dl = 1160.66877999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31725144-0.31706926) × R
    0.000182179999999976 × 6371000     		dr = 1160.66877999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61263358-0.61282532) × cos(0.31725144) × R
    0.000191739999999996 × 0.950096436523487 × 6371000     		do = 1160.61456749823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61263358-0.61282532) × cos(0.31706926) × R
    0.000191739999999996 × 0.950153252963502 × 6371000     		du = 1160.68397307162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31725144)-sin(0.31706926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950096436523487-0.950153252963502)×R²
    abs(0.61282532-0.61263358)×5.6816440014984e-05×R²
    0.000191739999999996×5.6816440014984e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.6816440014984e-05×40589641000000     		ar = 1347129.37627527m²