Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19575 / 14470
↖ ↑ ↗
← N 80.115736°
W126.235657°		 ← 52.42 m → N 80.115736°
W126.232910°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.115264°
W126.235657°		 ← 52.42 m →
2 749 m²		 N 80.115264°
W126.232910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149349212646484 y=0.110401153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149349212646484 × 217)
    floor (0.149349212646484 × 131072)
    floor (19575.5)     		tx = 19575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110401153564453 × 217)
    floor (0.110401153564453 × 131072)
    floor (14470.5)     		ty = 14470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19575 / 14470 ti = "17/19575/14470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19575/14470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19575 ÷ 217
    19575 ÷ 131072     		x = 0.149345397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14470 ÷ 217
    14470 ÷ 131072     		y = 0.110397338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149345397949219 × 2 - 1) × π
    -0.701309204101562 × 3.1415926535     		Λ = -2.20322784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110397338867188 × 2 - 1) × π
    0.779205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44794571599779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20322784} λ = -2.20322784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44794571599779))-π/2
    2×atan(11.564565399102)-π/2
    2×1.48453984638037-π/2
    2.96907969276073-1.57079632675     		φ = 1.39828337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20322784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.235657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39828337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.115736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19575 KachelY 14470 -2.20322784 1.39828337 -126.235657 80.115736
    Oben rechts KachelX + 1 19576 KachelY 14470 -2.20317991 1.39828337 -126.232910 80.115736
    Unten links KachelX 19575 KachelY + 1 14471 -2.20322784 1.39827514 -126.235657 80.115264
    Unten rechts KachelX + 1 19576 KachelY + 1 14471 -2.20317991 1.39827514 -126.232910 80.115264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39828337-1.39827514) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39828337-1.39827514) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20322784--2.20317991) × cos(1.39828337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171658544208295 × 6371000     		do = 52.4180015263218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20322784--2.20317991) × cos(1.39827514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171666652040538 × 6371000     		du = 52.4204773504344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39828337)-sin(1.39827514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171658544208295-0.171666652040538)×R²
    abs(-2.20317991--2.20322784)×8.10783224280964e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.10783224280964e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.10783224280964e-06×40589641000000     		ar = 2748.51527979977m²