Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1957 / 822
↖ ↑ ↗
← N 72.659588°
W  7.998047°		 ← 2 912.82 m → N 72.659588°
W  7.910156°		 →
↑
2 914.92 m
↓
↑
2 914.92 m
↓
N 72.633374°
W  7.998047°		 ← 2 917.09 m →
8 496 872 m²		 N 72.633374°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4779052734375 y=0.2008056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4779052734375 × 212)
    floor (0.4779052734375 × 4096)
    floor (1957.5)     		tx = 1957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2008056640625 × 212)
    floor (0.2008056640625 × 4096)
    floor (822.5)     		ty = 822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1957 / 822 ti = "12/1957/822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1957/822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1957 ÷ 212
    1957 ÷ 4096     		x = 0.477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 822 ÷ 212
    822 ÷ 4096     		y = 0.20068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20068359375 × 2 - 1) × π
    0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13959225} λ = -0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88066044589404))-π/2
    2×atan(6.55783452716632)-π/2
    2×1.41947268935165-π/2
    2.8389453787033-1.57079632675     		φ = 1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1957 KachelY 822 -0.13959225 1.26814905 -7.998047 72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 1958 KachelY 822 -0.13805827 1.26814905 -7.910156 72.659588
    Unten links KachelX 1957 KachelY + 1 823 -0.13959225 1.26769152 -7.998047 72.633374
    Unten rechts KachelX + 1 1958 KachelY + 1 823 -0.13805827 1.26769152 -7.910156 72.633374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26814905-1.26769152) × R
    0.000457530000000039 × 6371000     		dl = 2914.92363000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26814905-1.26769152) × R
    0.000457530000000039 × 6371000     		dr = 2914.92363000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13959225--0.13805827) × cos(1.26814905) × R
    0.00153397999999999 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 2912.82114003767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13959225--0.13805827) × cos(1.26769152) × R
    0.00153397999999999 × 0.298484912738259 × 6371000     		du = 2917.08904652346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26814905)-sin(1.26769152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.298484912738259)×R²
    abs(-0.13805827--0.13959225)×0.000436704425085643×R²
    0.00153397999999999×0.000436704425085643×6371000²
    0.00153397999999999×0.000436704425085643×40589641000000     		ar = 8496871.63001716m²