Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1957 / 1067
↖ ↑ ↗
← N 64.960766°
W  7.998047°		 ← 4 136.31 m → N 64.960766°
W  7.910156°		 →
↑
4 139.17 m
↓
↑
4 139.17 m
↓
N 64.923542°
W  7.998047°		 ← 4 142.06 m →
17 132 802 m²		 N 64.923542°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4779052734375 y=0.2606201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4779052734375 × 212)
    floor (0.4779052734375 × 4096)
    floor (1957.5)     		tx = 1957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2606201171875 × 212)
    floor (0.2606201171875 × 4096)
    floor (1067.5)     		ty = 1067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1957 / 1067 ti = "12/1957/1067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1957/1067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1957 ÷ 212
    1957 ÷ 4096     		x = 0.477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1067 ÷ 212
    1067 ÷ 4096     		y = 0.260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260498046875 × 2 - 1) × π
    0.47900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5048351528728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13959225} λ = -0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5048351528728))-π/2
    2×atan(4.50341119469794)-π/2
    2×1.35228779185275-π/2
    2.70457558370549-1.57079632675     		φ = 1.13377926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13377926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.960766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1957 KachelY 1067 -0.13959225 1.13377926 -7.998047 64.960766
    Oben rechts KachelX + 1 1958 KachelY 1067 -0.13805827 1.13377926 -7.910156 64.960766
    Unten links KachelX 1957 KachelY + 1 1068 -0.13959225 1.13312957 -7.998047 64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 1958 KachelY + 1 1068 -0.13805827 1.13312957 -7.910156 64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13377926-1.13312957) × R
    0.000649690000000147 × 6371000     		dl = 4139.17499000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13377926-1.13312957) × R
    0.000649690000000147 × 6371000     		dr = 4139.17499000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13959225--0.13805827) × cos(1.13377926) × R
    0.00153397999999999 × 0.423238760309742 × 6371000     		do = 4136.30672464292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13959225--0.13805827) × cos(1.13312957) × R
    0.00153397999999999 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 4142.0585336975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13377926)-sin(1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423238760309742-0.423827301899101)×R²
    abs(-0.13805827--0.13959225)×0.000588541589359337×R²
    0.00153397999999999×0.000588541589359337×6371000²
    0.00153397999999999×0.000588541589359337×40589641000000     		ar = 17132801.8203521m²