Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19562 / 20526
↖ ↑ ↗
← S 41.360319°
E 34.914551°		 ← 916.92 m → S 41.360319°
E 34.925537°		 →
↑
916.85 m
↓
↑
916.85 m
↓
S 41.368564°
E 34.914551°		 ← 916.81 m →
840 629 m²		 S 41.368564°
E 34.925537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597000122070312 y=0.626419067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597000122070312 × 215)
    floor (0.597000122070312 × 32768)
    floor (19562.5)     		tx = 19562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626419067382812 × 215)
    floor (0.626419067382812 × 32768)
    floor (20526.5)     		ty = 20526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19562 / 20526 ti = "15/19562/20526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19562/20526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19562 ÷ 215
    19562 ÷ 32768     		x = 0.59698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20526 ÷ 215
    20526 ÷ 32768     		y = 0.62640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59698486328125 × 2 - 1) × π
    0.1939697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60937387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.2528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.79421855290509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60937387} λ = 0.60937387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79421855290509))-π/2
    2×atan(0.45193425968386)-π/2
    2×0.424461293233677-π/2
    0.848922586467355-1.57079632675     		φ = -0.72187374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60937387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.914551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72187374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.360319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19562 KachelY 20526 0.60937387 -0.72187374 34.914551 -41.360319
    Oben rechts KachelX + 1 19563 KachelY 20526 0.60956562 -0.72187374 34.925537 -41.360319
    Unten links KachelX 19562 KachelY + 1 20527 0.60937387 -0.72201765 34.914551 -41.368564
    Unten rechts KachelX + 1 19563 KachelY + 1 20527 0.60956562 -0.72201765 34.925537 -41.368564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72187374--0.72201765) × R
    0.000143909999999914 × 6371000     		dl = 916.850609999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72187374--0.72201765) × R
    0.000143909999999914 × 6371000     		dr = 916.850609999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60937387-0.60956562) × cos(-0.72187374) × R
    0.000191750000000046 × 0.750568894671019 × 6371000     		do = 916.924421559453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60937387-0.60956562) × cos(-0.72201765) × R
    0.000191750000000046 × 0.75047379229337 × 6371000     		du = 916.808240762148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72187374)-sin(-0.72201765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750568894671019-0.75047379229337)×R²
    abs(0.60956562-0.60937387)×9.51023776494253e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51023776494253e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51023776494253e-05×40589641000000     		ar = 840629.456463007m²