Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19560 / 14477
↖ ↑ ↗
← N 80.112435°
W126.276856°		 ← 52.45 m → N 80.112435°
W126.274109°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.111963°
W126.276856°		 ← 52.45 m →
2 753 m²		 N 80.111963°
W126.274109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149234771728516 y=0.110454559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149234771728516 × 217)
    floor (0.149234771728516 × 131072)
    floor (19560.5)     		tx = 19560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110454559326172 × 217)
    floor (0.110454559326172 × 131072)
    floor (14477.5)     		ty = 14477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19560 / 14477 ti = "17/19560/14477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19560/14477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19560 ÷ 217
    19560 ÷ 131072     		x = 0.14923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14477 ÷ 217
    14477 ÷ 131072     		y = 0.110450744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.7015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20394690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110450744628906 × 2 - 1) × π
    0.779098510742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.44761015770045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20394690} λ = -2.20394690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44761015770045))-π/2
    2×atan(11.5606854642358)-π/2
    2×1.48451104089435-π/2
    2.96902208178869-1.57079632675     		φ = 1.39822576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20394690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.276856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39822576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.112435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19560 KachelY 14477 -2.20394690 1.39822576 -126.276856 80.112435
    Oben rechts KachelX + 1 19561 KachelY 14477 -2.20389896 1.39822576 -126.274109 80.112435
    Unten links KachelX 19560 KachelY + 1 14478 -2.20394690 1.39821752 -126.276856 80.111963
    Unten rechts KachelX + 1 19561 KachelY + 1 14478 -2.20389896 1.39821752 -126.274109 80.111963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39822576-1.39821752) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dl = 52.4970400006608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39822576-1.39821752) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dr = 52.4970400006608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20394690--2.20389896) × cos(1.39822576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171715298789799 × 6371000     		do = 52.446272202161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20394690--2.20389896) × cos(1.39821752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17172341639209 × 6371000     		du = 52.4487515268478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39822576)-sin(1.39821752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171715298789799-0.17172341639209)×R²
    abs(-2.20389896--2.20394690)×8.11760229110781e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.11760229110781e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.11760229110781e-06×40589641000000     		ar = 2753.33912836493m²