Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1956 / 1238
↖ ↑ ↗
← N 57.797944°
W  8.085937°		 ← 5 208.09 m → N 57.797944°
W  7.998047°		 →
↑
5 211.48 m
↓
↑
5 211.48 m
↓
N 57.751076°
W  8.085937°		 ← 5 214.85 m →
27 159 467 m²		 N 57.751076°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4776611328125 y=0.3023681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4776611328125 × 212)
    floor (0.4776611328125 × 4096)
    floor (1956.5)     		tx = 1956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3023681640625 × 212)
    floor (0.3023681640625 × 4096)
    floor (1238.5)     		ty = 1238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1956 / 1238 ti = "12/1956/1238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1956/1238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1956 ÷ 212
    1956 ÷ 4096     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1238 ÷ 212
    1238 ÷ 4096     		y = 0.30224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30224609375 × 2 - 1) × π
    0.3955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24252443815186))-π/2
    2×atan(3.4643479674485)-π/2
    2×1.28978037422592-π/2
    2.57956074845184-1.57079632675     		φ = 1.00876442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00876442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.797944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1956 KachelY 1238 -0.14112623 1.00876442 -8.085937 57.797944
    Oben rechts KachelX + 1 1957 KachelY 1238 -0.13959225 1.00876442 -7.998047 57.797944
    Unten links KachelX 1956 KachelY + 1 1239 -0.14112623 1.00794642 -8.085937 57.751076
    Unten rechts KachelX + 1 1957 KachelY + 1 1239 -0.13959225 1.00794642 -7.998047 57.751076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00876442-1.00794642) × R
    0.000818000000000207 × 6371000     		dl = 5211.47800000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00876442-1.00794642) × R
    0.000818000000000207 × 6371000     		dr = 5211.47800000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.13959225) × cos(1.00876442) × R
    0.00153397999999999 × 0.532906643614054 × 6371000     		do = 5208.08947643296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.13959225) × cos(1.00794642) × R
    0.00153397999999999 × 0.533598635612837 × 6371000     		du = 5214.85230495054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00876442)-sin(1.00794642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532906643614054-0.533598635612837)×R²
    abs(-0.13959225--0.14112623)×0.00069199199878367×R²
    0.00153397999999999×0.00069199199878367×6371000²
    0.00153397999999999×0.00069199199878367×40589641000000     		ar = 27159467.4089128m²