Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19552 / 20521
↖ ↑ ↗
← S 41.319075°
E 34.804687°		 ← 917.51 m → S 41.319075°
E 34.815674°		 →
↑
917.49 m
↓
↑
917.49 m
↓
S 41.327327°
E 34.804687°		 ← 917.39 m →
841 747 m²		 S 41.327327°
E 34.815674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596694946289062 y=0.626266479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596694946289062 × 215)
    floor (0.596694946289062 × 32768)
    floor (19552.5)     		tx = 19552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626266479492188 × 215)
    floor (0.626266479492188 × 32768)
    floor (20521.5)     		ty = 20521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19552 / 20521 ti = "15/19552/20521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19552/20521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19552 ÷ 215
    19552 ÷ 32768     		x = 0.5966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20521 ÷ 215
    20521 ÷ 32768     		y = 0.626251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5966796875 × 2 - 1) × π
    0.193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.60745639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.25250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793259814912689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60745639} λ = 0.60745639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793259814912689))-π/2
    2×atan(0.452367753999217)-π/2
    2×0.424821206655448-π/2
    0.849642413310896-1.57079632675     		φ = -0.72115391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60745639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.804687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72115391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.319075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19552 KachelY 20521 0.60745639 -0.72115391 34.804687 -41.319075
    Oben rechts KachelX + 1 19553 KachelY 20521 0.60764814 -0.72115391 34.815674 -41.319075
    Unten links KachelX 19552 KachelY + 1 20522 0.60745639 -0.72129792 34.804687 -41.327327
    Unten rechts KachelX + 1 19553 KachelY + 1 20522 0.60764814 -0.72129792 34.815674 -41.327327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72115391--0.72129792) × R
    0.000144010000000083 × 6371000     		dl = 917.48771000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72115391--0.72129792) × R
    0.000144010000000083 × 6371000     		dr = 917.48771000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60745639-0.60764814) × cos(-0.72115391) × R
    0.000191750000000046 × 0.751044358225187 × 6371000     		do = 917.505266499169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60745639-0.60764814) × cos(-0.72129792) × R
    0.000191750000000046 × 0.750949267583241 × 6371000     		du = 917.389100038661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72115391)-sin(-0.72129792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751044358225187-0.750949267583241)×R²
    abs(0.60764814-0.60745639)×9.50906419456832e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50906419456832e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50906419456832e-05×40589641000000     		ar = 841746.516678595m²