Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 19550 / 35869
↖ ↑ ↗
← N 62.878945°
W126.304322°		 ← 139.24 m → N 62.878945°
W126.301575°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 62.877692°
W126.304322°		 ← 139.24 m →
19 392 m²		 N 62.877692°
W126.301575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149158477783203 y=0.273662567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149158477783203 × 217)
    floor (0.149158477783203 × 131072)
    floor (19550.5)     		tx = 19550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273662567138672 × 217)
    floor (0.273662567138672 × 131072)
    floor (35869.5)     		ty = 35869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19550 / 35869 ti = "17/19550/35869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19550/35869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19550 ÷ 217
    19550 ÷ 131072     		x = 0.149154663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35869 ÷ 217
    35869 ÷ 131072     		y = 0.273658752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149154663085938 × 2 - 1) × π
    -0.701690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.20442627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273658752441406 × 2 - 1) × π
    0.452682495117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.42214400102821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20442627} λ = -2.20442627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42214400102821))-π/2
    2×atan(4.14599994616261)-π/2
    2×1.33412047264324-π/2
    2.66824094528649-1.57079632675     		φ = 1.09744462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20442627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.304322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09744462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.878945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19550 KachelY 35869 -2.20442627 1.09744462 -126.304322 62.878945
    Oben rechts KachelX + 1 19551 KachelY 35869 -2.20437833 1.09744462 -126.301575 62.878945
    Unten links KachelX 19550 KachelY + 1 35870 -2.20442627 1.09742276 -126.304322 62.877692
    Unten rechts KachelX + 1 19551 KachelY + 1 35870 -2.20437833 1.09742276 -126.301575 62.877692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09744462-1.09742276) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dl = 139.270060000963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09744462-1.09742276) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dr = 139.270060000963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20442627--2.20437833) × cos(1.09744462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455872011427769 × 6371000     		do = 139.235046435524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20442627--2.20437833) × cos(1.09742276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455891467710003 × 6371000     		du = 139.240988884922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09744462)-sin(1.09742276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455872011427769-0.455891467710003)×R²
    abs(-2.20437833--2.20442627)×1.94562822333766e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94562822333766e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94562822333766e-05×40589641000000     		ar = 19391.6870745543m²