Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1955 / 990
↖ ↑ ↗
← N 67.676085°
W  8.173828°		 ← 3 712.19 m → N 67.676085°
W  8.085937°		 →
↑
3 714.80 m
↓
↑
3 714.80 m
↓
N 67.642677°
W  8.173828°		 ← 3 717.46 m →
13 799 858 m²		 N 67.642677°
W  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4774169921875 y=0.2418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4774169921875 × 212)
    floor (0.4774169921875 × 4096)
    floor (1955.5)     		tx = 1955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2418212890625 × 212)
    floor (0.2418212890625 × 4096)
    floor (990.5)     		ty = 990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1955 / 990 ti = "12/1955/990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1955/990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1955 ÷ 212
    1955 ÷ 4096     		x = 0.477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 990 ÷ 212
    990 ÷ 4096     		y = 0.24169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24169921875 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62295167353662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14266021} λ = -0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62295167353662))-π/2
    2×atan(5.06802742341612)-π/2
    2×1.37598341379551-π/2
    2.75196682759102-1.57079632675     		φ = 1.18117050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18117050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.676085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1955 KachelY 990 -0.14266021 1.18117050 -8.173828 67.676085
    Oben rechts KachelX + 1 1956 KachelY 990 -0.14112623 1.18117050 -8.085937 67.676085
    Unten links KachelX 1955 KachelY + 1 991 -0.14266021 1.18058742 -8.173828 67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 1956 KachelY + 1 991 -0.14112623 1.18058742 -8.085937 67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18117050-1.18058742) × R
    0.000583079999999958 × 6371000     		dl = 3714.80267999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18117050-1.18058742) × R
    0.000583079999999958 × 6371000     		dr = 3714.80267999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14266021--0.14112623) × cos(1.18117050) × R
    0.00153398000000002 × 0.37984231232963 × 6371000     		do = 3712.19382091369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14266021--0.14112623) × cos(1.18058742) × R
    0.00153398000000002 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 3717.46453216669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18117050)-sin(1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37984231232963-0.380381626612921)×R²
    abs(-0.14112623--0.14266021)×0.000539314283290904×R²
    0.00153398000000002×0.000539314283290904×6371000²
    0.00153398000000002×0.000539314283290904×40589641000000     		ar = 13799857.7717243m²