Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1955 / 795
↖ ↑ ↗
← N 73.353055°
W  8.173828°		 ← 2 799.70 m → N 73.353055°
W  8.085937°		 →
↑
2 801.77 m
↓
↑
2 801.77 m
↓
N 73.327858°
W  8.173828°		 ← 2 803.82 m →
7 849 900 m²		 N 73.327858°
W  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4774169921875 y=0.1942138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4774169921875 × 212)
    floor (0.4774169921875 × 4096)
    floor (1955.5)     		tx = 1955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1942138671875 × 212)
    floor (0.1942138671875 × 4096)
    floor (795.5)     		ty = 795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1955 / 795 ti = "12/1955/795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1955/795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1955 ÷ 212
    1955 ÷ 4096     		x = 0.477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 795 ÷ 212
    795 ÷ 4096     		y = 0.194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194091796875 × 2 - 1) × π
    0.61181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92207792716577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14266021} λ = -0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92207792716577))-π/2
    2×atan(6.83514666009912)-π/2
    2×1.42552432594847-π/2
    2.85104865189695-1.57079632675     		φ = 1.28025233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28025233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.353055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1955 KachelY 795 -0.14266021 1.28025233 -8.173828 73.353055
    Oben rechts KachelX + 1 1956 KachelY 795 -0.14112623 1.28025233 -8.085937 73.353055
    Unten links KachelX 1955 KachelY + 1 796 -0.14266021 1.27981256 -8.173828 73.327858
    Unten rechts KachelX + 1 1956 KachelY + 1 796 -0.14112623 1.27981256 -8.085937 73.327858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28025233-1.27981256) × R
    0.000439769999999839 × 6371000     		dl = 2801.77466999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28025233-1.27981256) × R
    0.000439769999999839 × 6371000     		dr = 2801.77466999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14266021--0.14112623) × cos(1.28025233) × R
    0.00153398000000002 × 0.286473464364854 × 6371000     		do = 2799.70132276386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14266021--0.14112623) × cos(1.27981256) × R
    0.00153398000000002 × 0.286894775087066 × 6371000     		du = 2803.81878679805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28025233)-sin(1.27981256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286473464364854-0.286894775087066)×R²
    abs(-0.14112623--0.14266021)×0.000421310722211909×R²
    0.00153398000000002×0.000421310722211909×6371000²
    0.00153398000000002×0.000421310722211909×40589641000000     		ar = 7849900.47941323m²