Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1954 / 2470
↖ ↑ ↗
← S 34.741613°
W  8.261719°		 ← 8 030.76 m → S 34.741613°
W  8.173828°		 →
↑
8 027.21 m
↓
↑
8 027.21 m
↓
S 34.813803°
W  8.261719°		 ← 8 023.74 m →
64 436 376 m²		 S 34.813803°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4771728515625 y=0.6031494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4771728515625 × 212)
    floor (0.4771728515625 × 4096)
    floor (1954.5)     		tx = 1954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6031494140625 × 212)
    floor (0.6031494140625 × 4096)
    floor (2470.5)     		ty = 2470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1954 / 2470 ti = "12/1954/2470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1954/2470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1954 ÷ 212
    1954 ÷ 4096     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2470 ÷ 212
    2470 ÷ 4096     		y = 0.60302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60302734375 × 2 - 1) × π
    -0.2060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.647339892469238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.647339892469238))-π/2
    2×atan(0.523436323344921)-π/2
    2×0.482220400626736-π/2
    0.964440801253472-1.57079632675     		φ = -0.60635553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60635553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.741613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1954 KachelY 2470 -0.14419419 -0.60635553 -8.261719 -34.741613
    Oben rechts KachelX + 1 1955 KachelY 2470 -0.14266021 -0.60635553 -8.173828 -34.741613
    Unten links KachelX 1954 KachelY + 1 2471 -0.14419419 -0.60761549 -8.261719 -34.813803
    Unten rechts KachelX + 1 1955 KachelY + 1 2471 -0.14266021 -0.60761549 -8.173828 -34.813803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60635553--0.60761549) × R
    0.00125996000000006 × 6371000     		dl = 8027.20516000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60635553--0.60761549) × R
    0.00125996000000006 × 6371000     		dr = 8027.20516000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14266021) × cos(-0.60635553) × R
    0.00153397999999999 × 0.821730368153368 × 6371000     		do = 8030.75986034128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14266021) × cos(-0.60761549) × R
    0.00153397999999999 × 0.821011694525983 × 6371000     		du = 8023.73627262544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60635553)-sin(-0.60761549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821730368153368-0.821011694525983)×R²
    abs(-0.14266021--0.14419419)×0.000718673627384758×R²
    0.00153397999999999×0.000718673627384758×6371000²
    0.00153397999999999×0.000718673627384758×40589641000000     		ar = 64436375.6242723m²