Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1954 / 1225
↖ ↑ ↗
← N 58.401712°
W  8.261719°		 ← 5 120.66 m → N 58.401712°
W  8.173828°		 →
↑
5 124 m
↓
↑
5 124 m
↓
N 58.355631°
W  8.261719°		 ← 5 127.35 m →
26 255 425 m²		 N 58.355631°
W  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4771728515625 y=0.2991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4771728515625 × 212)
    floor (0.4771728515625 × 4096)
    floor (1954.5)     		tx = 1954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2991943359375 × 212)
    floor (0.2991943359375 × 4096)
    floor (1225.5)     		ty = 1225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1954 / 1225 ti = "12/1954/1225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1954/1225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1954 ÷ 212
    1954 ÷ 4096     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1225 ÷ 212
    1225 ÷ 4096     		y = 0.299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299072265625 × 2 - 1) × π
    0.40185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2624661883938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2624661883938))-π/2
    2×atan(3.53412657069642)-π/2
    2×1.29504924208807-π/2
    2.59009848417614-1.57079632675     		φ = 1.01930216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01930216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.401712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1954 KachelY 1225 -0.14419419 1.01930216 -8.261719 58.401712
    Oben rechts KachelX + 1 1955 KachelY 1225 -0.14266021 1.01930216 -8.173828 58.401712
    Unten links KachelX 1954 KachelY + 1 1226 -0.14419419 1.01849789 -8.261719 58.355631
    Unten rechts KachelX + 1 1955 KachelY + 1 1226 -0.14266021 1.01849789 -8.173828 58.355631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01930216-1.01849789) × R
    0.000804270000000162 × 6371000     		dl = 5124.00417000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01930216-1.01849789) × R
    0.000804270000000162 × 6371000     		dr = 5124.00417000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14266021) × cos(1.01930216) × R
    0.00153397999999999 × 0.52396045883088 × 6371000     		do = 5120.6585326048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14266021) × cos(1.01849789) × R
    0.00153397999999999 × 0.524645320306961 × 6371000     		du = 5127.3516746197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01930216)-sin(1.01849789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52396045883088-0.524645320306961)×R²
    abs(-0.14266021--0.14419419)×0.000684861476081711×R²
    0.00153397999999999×0.000684861476081711×6371000²
    0.00153397999999999×0.000684861476081711×40589641000000     		ar = 26255424.9332897m²