Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19523 / 20541
↖ ↑ ↗
← S 41.483891°
E 34.486084°		 ← 915.18 m → S 41.483891°
E 34.497070°		 →
↑
915.07 m
↓
↑
915.07 m
↓
S 41.492121°
E 34.486084°		 ← 915.07 m →
837 399 m²		 S 41.492121°
E 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595809936523438 y=0.626876831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595809936523438 × 215)
    floor (0.595809936523438 × 32768)
    floor (19523.5)     		tx = 19523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626876831054688 × 215)
    floor (0.626876831054688 × 32768)
    floor (20541.5)     		ty = 20541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19523 / 20541 ti = "15/19523/20541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19523/20541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19523 ÷ 215
    19523 ÷ 32768     		x = 0.595794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20541 ÷ 215
    20541 ÷ 32768     		y = 0.626861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595794677734375 × 2 - 1) × π
    0.19158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60189571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.25372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.797094766882294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60189571} λ = 0.60189571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797094766882294))-π/2
    2×atan(0.450636267595689)-π/2
    2×0.423382920789379-π/2
    0.846765841578758-1.57079632675     		φ = -0.72403049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60189571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.486084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72403049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.483891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19523 KachelY 20541 0.60189571 -0.72403049 34.486084 -41.483891
    Oben rechts KachelX + 1 19524 KachelY 20541 0.60208746 -0.72403049 34.497070 -41.483891
    Unten links KachelX 19523 KachelY + 1 20542 0.60189571 -0.72417412 34.486084 -41.492121
    Unten rechts KachelX + 1 19524 KachelY + 1 20542 0.60208746 -0.72417412 34.497070 -41.492121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72403049--0.72417412) × R
    0.000143630000000061 × 6371000     		dl = 915.06673000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72403049--0.72417412) × R
    0.000143630000000061 × 6371000     		dr = 915.06673000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60189571-0.60208746) × cos(-0.72403049) × R
    0.000191750000000046 × 0.74914198653261 × 6371000     		do = 915.181254571427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60189571-0.60208746) × cos(-0.72417412) × R
    0.000191750000000046 × 0.749046836935897 × 6371000     		du = 915.065016089462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72403049)-sin(-0.72417412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74914198653261-0.749046836935897)×R²
    abs(0.60208746-0.60189571)×9.51495967124183e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51495967124183e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51495967124183e-05×40589641000000     		ar = 837398.736433876m²