Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1952 / 1239
↖ ↑ ↗
← N 57.751076°
W  8.437500°		 ← 5 214.89 m → N 57.751076°
W  8.349609°		 →
↑
5 218.23 m
↓
↑
5 218.23 m
↓
N 57.704147°
W  8.437500°		 ← 5 221.65 m →
27 230 143 m²		 N 57.704147°
W  8.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4766845703125 y=0.3026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4766845703125 × 212)
    floor (0.4766845703125 × 4096)
    floor (1952.5)     		tx = 1952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3026123046875 × 212)
    floor (0.3026123046875 × 4096)
    floor (1239.5)     		ty = 1239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1952 / 1239 ti = "12/1952/1239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1952/1239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1952 ÷ 212
    1952 ÷ 4096     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1239 ÷ 212
    1239 ÷ 4096     		y = 0.302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302490234375 × 2 - 1) × π
    0.39501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24099045736401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24099045736401))-π/2
    2×atan(3.45903779811419)-π/2
    2×1.28937137460972-π/2
    2.57874274921944-1.57079632675     		φ = 1.00794642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00794642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.751076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1952 KachelY 1239 -0.14726216 1.00794642 -8.437500 57.751076
    Oben rechts KachelX + 1 1953 KachelY 1239 -0.14572817 1.00794642 -8.349609 57.751076
    Unten links KachelX 1952 KachelY + 1 1240 -0.14726216 1.00712736 -8.437500 57.704147
    Unten rechts KachelX + 1 1953 KachelY + 1 1240 -0.14572817 1.00712736 -8.349609 57.704147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00794642-1.00712736) × R
    0.000819059999999983 × 6371000     		dl = 5218.23125999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00794642-1.00712736) × R
    0.000819059999999983 × 6371000     		dr = 5218.23125999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14572817) × cos(1.00794642) × R
    0.00153399000000001 × 0.533598635612837 × 6371000     		do = 5214.88630051969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14572817) × cos(1.00712736) × R
    0.00153399000000001 × 0.534291166586826 × 6371000     		du = 5221.65444055586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00794642)-sin(1.00712736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533598635612837-0.534291166586826)×R²
    abs(-0.14572817--0.14726216)×0.000692530973988914×R²
    0.00153399000000001×0.000692530973988914×6371000²
    0.00153399000000001×0.000692530973988914×40589641000000     		ar = 27230143.0929658m²