Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1952 / 1091
↖ ↑ ↗
← N 64.052978°
W  8.437500°		 ← 4 276.10 m → N 64.052978°
W  8.349609°		 →
↑
4 279.02 m
↓
↑
4 279.02 m
↓
N 64.014496°
W  8.437500°		 ← 4 282 m →
18 310 135 m²		 N 64.014496°
W  8.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4766845703125 y=0.2664794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4766845703125 × 212)
    floor (0.4766845703125 × 4096)
    floor (1952.5)     		tx = 1952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2664794921875 × 212)
    floor (0.2664794921875 × 4096)
    floor (1091.5)     		ty = 1091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1952 / 1091 ti = "12/1952/1091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1952/1091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1952 ÷ 212
    1952 ÷ 4096     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1091 ÷ 212
    1091 ÷ 4096     		y = 0.266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266357421875 × 2 - 1) × π
    0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4680196139646))-π/2
    2×atan(4.34063049959284)-π/2
    2×1.34436584761437-π/2
    2.68873169522873-1.57079632675     		φ = 1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1952 KachelY 1091 -0.14726216 1.11793537 -8.437500 64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 1953 KachelY 1091 -0.14572817 1.11793537 -8.349609 64.052978
    Unten links KachelX 1952 KachelY + 1 1092 -0.14726216 1.11726373 -8.437500 64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 1953 KachelY + 1 1092 -0.14572817 1.11726373 -8.349609 64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11793537-1.11726373) × R
    0.000671640000000195 × 6371000     		dl = 4279.01844000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11793537-1.11726373) × R
    0.000671640000000195 × 6371000     		dr = 4279.01844000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14572817) × cos(1.11793537) × R
    0.00153399000000001 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 4276.09935609836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14572817) × cos(1.11726373) × R
    0.00153399000000001 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 4282.00070779454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11793537)-sin(1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.438143730026227)×R²
    abs(-0.14572817--0.14726216)×0.00060383928467167×R²
    0.00153399000000001×0.00060383928467167×6371000²
    0.00153399000000001×0.00060383928467167×40589641000000     		ar = 18310134.6806956m²