Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19511 / 14766
↖ ↑ ↗
← N 17.497390°
E 34.354248°		 ← 1 165.11 m → N 17.497390°
E 34.365234°		 →
↑
1 165.19 m
↓
↑
1 165.19 m
↓
N 17.486911°
E 34.354248°		 ← 1 165.18 m →
1 357 622 m²		 N 17.486911°
E 34.365234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595443725585938 y=0.450637817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595443725585938 × 215)
    floor (0.595443725585938 × 32768)
    floor (19511.5)     		tx = 19511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450637817382812 × 215)
    floor (0.450637817382812 × 32768)
    floor (14766.5)     		ty = 14766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19511 / 14766 ti = "15/19511/14766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19511/14766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19511 ÷ 215
    19511 ÷ 32768     		x = 0.595428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14766 ÷ 215
    14766 ÷ 32768     		y = 0.45062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595428466796875 × 2 - 1) × π
    0.19085693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59959474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45062255859375 × 2 - 1) × π
    0.0987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310247614341003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59959474} λ = 0.59959474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310247614341003))-π/2
    2×atan(1.36376275954452)-π/2
    2×0.93809169116579-π/2
    1.87618338233158-1.57079632675     		φ = 0.30538706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59959474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.354248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30538706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.497390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19511 KachelY 14766 0.59959474 0.30538706 34.354248 17.497390
    Oben rechts KachelX + 1 19512 KachelY 14766 0.59978649 0.30538706 34.365234 17.497390
    Unten links KachelX 19511 KachelY + 1 14767 0.59959474 0.30520417 34.354248 17.486911
    Unten rechts KachelX + 1 19512 KachelY + 1 14767 0.59978649 0.30520417 34.365234 17.486911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30538706-0.30520417) × R
    0.000182889999999991 × 6371000     		dl = 1165.19218999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30538706-0.30520417) × R
    0.000182889999999991 × 6371000     		dr = 1165.19218999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59959474-0.59978649) × cos(0.30538706) × R
    0.000191749999999935 × 0.953730649643732 × 6371000     		do = 1165.11479553239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59959474-0.59978649) × cos(0.30520417) × R
    0.000191749999999935 × 0.95378562182983 × 6371000     		du = 1165.18195171258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30538706)-sin(0.30520417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953730649643732-0.95378562182983)×R²
    abs(0.59978649-0.59959474)×5.4972186098512e-05×R²
    0.000191749999999935×5.4972186098512e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.4972186098512e-05×40589641000000     		ar = 1357621.78892027m²