Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1950 / 866
↖ ↑ ↗
← N 71.469124°
W  8.613281°		 ← 3 106.01 m → N 71.469124°
W  8.525391°		 →
↑
3 108.28 m
↓
↑
3 108.28 m
↓
N 71.441171°
W  8.613281°		 ← 3 110.53 m →
9 661 379 m²		 N 71.441171°
W  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4761962890625 y=0.2115478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4761962890625 × 212)
    floor (0.4761962890625 × 4096)
    floor (1950.5)     		tx = 1950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2115478515625 × 212)
    floor (0.2115478515625 × 4096)
    floor (866.5)     		ty = 866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1950 / 866 ti = "12/1950/866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1950/866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1950 ÷ 212
    1950 ÷ 4096     		x = 0.47607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 866 ÷ 212
    866 ÷ 4096     		y = 0.21142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21142578125 × 2 - 1) × π
    0.5771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.813165291229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15033012} λ = -0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.813165291229))-π/2
    2×atan(6.12981942071165)-π/2
    2×1.40908392870443-π/2
    2.81816785740885-1.57079632675     		φ = 1.24737153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24737153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.469124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1950 KachelY 866 -0.15033012 1.24737153 -8.613281 71.469124
    Oben rechts KachelX + 1 1951 KachelY 866 -0.14879614 1.24737153 -8.525391 71.469124
    Unten links KachelX 1950 KachelY + 1 867 -0.15033012 1.24688365 -8.613281 71.441171
    Unten rechts KachelX + 1 1951 KachelY + 1 867 -0.14879614 1.24688365 -8.525391 71.441171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24737153-1.24688365) × R
    0.000487879999999885 × 6371000     		dl = 3108.28347999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24737153-1.24688365) × R
    0.000487879999999885 × 6371000     		dr = 3108.28347999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15033012--0.14879614) × cos(1.24737153) × R
    0.00153398000000002 × 0.317815647867951 × 6371000     		do = 3106.00806152753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15033012--0.14879614) × cos(1.24688365) × R
    0.00153398000000002 × 0.318278194680013 × 6371000     		du = 3110.52852531443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24737153)-sin(1.24688365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317815647867951-0.318278194680013)×R²
    abs(-0.14879614--0.15033012)×0.00046254681206126×R²
    0.00153398000000002×0.00046254681206126×6371000²
    0.00153398000000002×0.00046254681206126×40589641000000     		ar = 9661379.17948437m²