Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 195 / 227
↖ ↑ ↗
← N 19.973349°
W 42.890625°		 ← 73.481 km → N 19.973349°
W 42.187500°		 →
↑
73.634 km
↓
↑
73.634 km
↓
N 19.311143°
W 42.890625°		 ← 73.785 km →
5 421.96 km²		 N 19.311143°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3818359375 y=0.4443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3818359375 × 29)
    floor (0.3818359375 × 512)
    floor (195.5)     		tx = 195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4443359375 × 29)
    floor (0.4443359375 × 512)
    floor (227.5)     		ty = 227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 195 / 227 ti = "9/195/227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/195/227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 195 ÷ 29
    195 ÷ 512     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 227 ÷ 29
    227 ÷ 512     		y = 0.443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443359375 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.355883542779297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355883542779297))-π/2
    2×atan(1.42744130273695)-π/2
    2×0.95969851287609-π/2
    1.91939702575218-1.57079632675     		φ = 0.34860070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34860070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.973349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 195 KachelY 227 -0.74858262 0.34860070 -42.890625 19.973349
    Oben rechts KachelX + 1 196 KachelY 227 -0.73631078 0.34860070 -42.187500 19.973349
    Unten links KachelX 195 KachelY + 1 228 -0.74858262 0.33704303 -42.890625 19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 196 KachelY + 1 228 -0.73631078 0.33704303 -42.187500 19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34860070-0.33704303) × R
    0.01155767 × 6371000     		dl = 73633.9155699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34860070-0.33704303) × R
    0.01155767 × 6371000     		dr = 73633.9155699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.73631078) × cos(0.34860070) × R
    0.0122718399999999 × 0.939851609928014 × 6371000     		do = 73481.2573681426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.73631078) × cos(0.33704303) × R
    0.0122718399999999 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 73785.0052252417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34860070)-sin(0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939851609928014-0.94373665385257)×R²
    abs(-0.73631078--0.74858262)×0.00388504392455591×R²
    0.0122718399999999×0.00388504392455591×6371000²
    0.0122718399999999×0.00388504392455591×40589641000000     		ar = 5421956128.47866m²